專題---圓錐曲線中及最值與范圍問題.doc

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1、.高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)圓錐曲線中的最值問題和范圍的求解策略最值問題是圓錐曲線中的典型問題，它是教學(xué)的重點也是歷年高考的熱點。解決這類問題不僅要緊緊把握圓錐曲線的定義，而且要善于綜合應(yīng)用代數(shù)、平幾、三角等相關(guān)知識。以下從五個方面予以闡述。一．求距離的最值或范圍：例1.設(shè)AB為拋物線y=x2的一條弦，若AB=4，則AB的中點M到直線y+1=0的最短距離為，解析：拋物線y=x2的焦點為F（0，），準(zhǔn)線為y=，過A、B、M準(zhǔn)線y=的垂線，垂足分別是A1、B1、M1，則所求的距離d=MM1+=(AA1+BB1)+=(AF+BF)+≥AB+=×4+=,當(dāng)且僅當(dāng)弦AB過焦點

2、F時，d取最小值，評注：靈活運用拋物線的定義和性質(zhì)，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識，使解題簡潔明快，得心應(yīng)手。練習(xí)：1、(2008海南、寧夏理)已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q（2，－1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標(biāo)為（A）A.（，－1）B.（，1）C.（1，2）D.（1，－2）2、（2008安徽文）設(shè)橢圓其相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知過點傾斜角為的直線交橢圓于兩點，求證：;（Ⅲ）過點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,求的最小值解：（1）由題意得：橢圓的方程為(2)方法一：由（1）知是橢圓的左焦點

3、，離心率設(shè)為橢圓的左準(zhǔn)線。則作，與軸交于點H(如圖)點A在橢圓上Word范文.同理。方法二：當(dāng)時，記，則將其代入方程得設(shè)，則是此二次方程的兩個根.................(1)代入（1）式得........................(2)當(dāng)時，仍滿足（2）式。（3）設(shè)直線的傾斜角為，由于由（2）可得，yO...Mx.當(dāng)時，取得最小值3、我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，．如圖，設(shè)點，，是相應(yīng)橢圓的焦點，，和，是“果圓”與，軸的交點，是線段的中點．(1)若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；（2）設(shè)是“果圓”的半橢圓

4、上任意一點．求證：當(dāng)取得最小值時，在點或處；（3）若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標(biāo)．解：（1），Word范文.，于是，所求“果圓”方程為，．（2）設(shè)，則，，的最小值只能在或處取到．即當(dāng)取得最小值時，在點或處．（3），且和同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可．．當(dāng)，即時，的最小值在時取到，此時的橫坐標(biāo)是．當(dāng)，即時，由于在時是遞減的，的最小值在時取到，此時的橫坐標(biāo)是．綜上所述，若，當(dāng)取得最小值時，點的橫坐標(biāo)是；若，當(dāng)取得最小值時，點的橫坐標(biāo)是或．4、已知P點在圓x2+(y-2)2=1上移

5、動，Q點在橢圓上移動,試求

6、PQ

7、的最大值。解：故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心O1時

8、PQ

9、最大，因此要求

10、PQ

11、的最大值，只要求

12、O1Q

13、的最大值.設(shè)Q(x，y)，則

14、O1Q

15、2=x2+(y-4)2①因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2)②將②代入①得

16、O1Q

17、2=9(1-y2)+(y-4)2因為Q在橢圓上移動，所以-1￡y￡1，故當(dāng)時，此時二．求角的最值例2．M，N分別是橢圓的左、右焦點，l是橢圓的一條準(zhǔn)線，點P在l上，則∠MPN的最大值是.解析：不妨設(shè)l為橢圓的右準(zhǔn)線，其方程是，點，直線PM和PN傾斜角分別為.Word范文.∵∴于是∵∴即∠

18、MPN的最大值為.評注：審題時要注意把握∠MPN與PM和PN的傾斜角之間的內(nèi)在聯(lián)系.練習(xí)：1、已知橢圓的一個焦點為F1(0,-2)，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，且離心率e滿足：成等差數(shù)列。（1）求橢圓方程；（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線平分，若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由。（1）解：依題意e，∴a＝3，c＝2，b＝1，又F1(0，－2)，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為∴橢圓中心在原點，所求方程為(2)假設(shè)存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被平分∴直線l的斜率存在。設(shè)直線l：y＝kx＋m由消去y，整理得(k2＋9)x2

19、＋2kmx＋m2－9＝0∵l與橢圓交于不同的兩點M、N，∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0即m2－k2－9＜0①設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)②把②代入①式中得，∴k＞或k＜－∴直線l傾斜角三、求幾何特征量代數(shù)和的最值例3.點M和F分別是橢圓上的動點和右焦點，定點B(2,2).⑴求

20、MF

21、+

22、MB

23、的最小值.⑵求

24、MF

25、+

26、MB

27、的最小值.Word范文.解析：易知橢圓右焦點為F(4,0)，左焦點F′(-4,0)，離心率e=，準(zhǔn)線方程x=±.⑴

28、MF

29、+

30、MB

31、=10―

32、MF′

33、+

34、MB

35、=10―（

36、MF′

37、―

38、MB

39、）≥10―

40、F′B

41、

42、=10―2.故當(dāng)M，B，F(xiàn)′三點共線時，

43、MF

44、+

45、MB

46、取最小值