例1求曲線在曲線上點(diǎn)處切線斜率。.doc

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1、DDY整理例1求曲線在曲線上的點(diǎn)處切線的斜率。???????????????????????????????????圖?4-1?在曲線上點(diǎn)的附近另取一點(diǎn)，連接和得割線，當(dāng)沿曲線趨于時,割線的極限位置稱為曲線在點(diǎn)的切線。令，，則的斜率為，如果存在，則此極限值就是曲線的切線的斜率。DDY整理設(shè)切線的傾角為，則從另一角度，表示在區(qū)間（或）的平均變化率，極限稱為函數(shù)在的變化率。例2求變速直線運(yùn)動的物體的瞬時速度。物體產(chǎn)生的位移是時間的函數(shù)，設(shè)運(yùn)動方程為，求在時刻的速度。定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從變到時，則函數(shù)得相應(yīng)的增量，如果極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，并稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)

2、數(shù)。記作，或，，，即?DDY整理如果記，則上式可寫為或記?則?如果上述極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)不可導(dǎo)。例3設(shè)在處可導(dǎo)（1）（2）則？解（1）????????????????（2）???DDY整理???例4設(shè)?且?則??解????????例5證明：在??處不可導(dǎo)。解???在處不可導(dǎo)。??注意：函數(shù)在（0，0）??處的切線存在，斜率為，所以函數(shù)在處有?或時?DDY整理，有時???也稱?在處導(dǎo)數(shù)無窮大。圖?4-2左、右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)?右導(dǎo)數(shù)?顯然有，在處可導(dǎo)的充要條件是：在的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。例6討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性。解??在可導(dǎo)且DDY整理如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)（閉區(qū)間時，左端點(diǎn)

3、須右可導(dǎo)，右端點(diǎn)須左可導(dǎo)），則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，此時其導(dǎo)數(shù)值是隨而變的函數(shù)，稱為的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，記作而是的導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值。用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（函數(shù)），可分三步進(jìn)行：（1）求增量（2）求比值（3）求極限例7求（為正整數(shù)）解?（應(yīng)用二項(xiàng)式定理）??????DDY整理，所以一般地有???為任意實(shí)數(shù)。例8求的導(dǎo)數(shù)。解?????所以利用導(dǎo)數(shù)的定義和基本求導(dǎo)法則求出了常用初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，列于書中?141?頁公式表中，請大家背下來。如：,,,,,DDY整理,,,,,,,.例9設(shè)，求解?定理如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。因?yàn)樵邳c(diǎn)可導(dǎo)，即，（增量公式）DDY整理即所以時，。在處連續(xù)。注：

4、定理的逆不一定成立。既函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，卻不一定可導(dǎo)。例10函數(shù)，在點(diǎn)連續(xù)，但不可導(dǎo)。?所以在連續(xù)。???????????????????????圖4-3在處不可導(dǎo)。例11討論函數(shù)DDY整理在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。解??在處連續(xù)。在處可導(dǎo)，且。例12設(shè)問當(dāng)為何值時，在連續(xù)且可導(dǎo)。解在處連續(xù)，則，在處可導(dǎo)，則DDY整理在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)處切線的斜率。所以在處的切線方程為?法線方程為例13求在(-1，1)處的切線方程和法線方程。解，切線方程為法線方程為例14設(shè)曲線上的點(diǎn)處的切線平行于直線，求點(diǎn)的坐標(biāo)。DDY整理解因?yàn)榍€在點(diǎn)的切線平行于，解出所以點(diǎn)的坐標(biāo)為。