Lecture 5 Ch2.3-5 特殊矩陣,分塊矩陣,逆矩陣.ppt

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1、矩陣運(yùn)算矩陣的數(shù)乘矩陣的乘法方陣的行列式方陣的冪線性運(yùn)算矩陣的加法}矩陣的轉(zhuǎn)置1§2.3幾種特殊矩陣2．?dāng)?shù)量矩陣：對(duì)角線上元素全相等的對(duì)角陣3．單位矩陣：對(duì)角線上元素全是1的對(duì)角陣1．對(duì)角矩陣：除對(duì)角線外其余元素全為零的方陣2（1）A為對(duì)角矩陣時(shí)，（2）A、B為對(duì)角矩陣時(shí)，、、仍是對(duì)角矩陣。（3）數(shù)量矩陣和其它矩陣相乘時(shí)，作用相當(dāng)于一個(gè)數(shù)。性質(zhì)：3（4）單位矩陣的作用相當(dāng)于1（5）規(guī)定44．三角矩陣⑴上三角矩陣：主對(duì)角線以下元素全為零的方陣下三角矩陣：主對(duì)角線以上元素全為零的方陣⑵注：（1）若為三角矩陣，則（2）若

2、為上（下）三角矩陣則、、仍為上（下）三角矩陣5對(duì)稱矩陣的特點(diǎn)是：它的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.如５．對(duì)稱矩陣定義設(shè)為階方陣，若，即，那么稱為對(duì)稱矩陣.注：若是同階對(duì)稱矩陣，則和也是同階對(duì)稱矩陣；但就不一定是對(duì)稱矩陣了。6例1：求、和解：仍然對(duì)稱仍然對(duì)稱不對(duì)稱7定義設(shè)為階方陣，若，即，那么稱為反對(duì)稱矩陣.反對(duì)稱矩陣的主要特點(diǎn)是:主對(duì)角線上的元素為0,其余的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸互為相反數(shù).如６．反對(duì)稱矩陣注：若是同階反對(duì)稱矩陣，則和也是同階反對(duì)稱矩陣；但不一定是反對(duì)稱矩陣。8證明任一階方陣都可表示成一對(duì)稱陣與一

3、反對(duì)稱陣之和.證明所以C為對(duì)稱矩陣.所以B為反對(duì)稱矩陣.命題得證.例2設(shè)則設(shè)則9如稱滿足下列條件的矩陣A為階梯形矩陣：A的每一非零行的左數(shù)第一個(gè)非零元所在列的下方全為零.７．階梯形矩陣10§2.4分塊矩陣11一、矩陣的分塊對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算。具體做法：將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。12例其中13其中零子塊14單位塊1516二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則加法：利用分塊法對(duì)兩個(gè)同

4、型矩陣進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，兩個(gè)矩陣必須采用相同的分塊法。例117其中其中1819數(shù)乘：數(shù)字乘以分塊矩陣等于乘以的每一子塊。20乘法：利用分塊法對(duì)兩個(gè)矩陣進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，左矩陣列的分法和右矩陣行的分法必須完全相同。例1設(shè)求2122分塊矩陣的轉(zhuǎn)置：對(duì)分塊矩陣作轉(zhuǎn)置運(yùn)算時(shí)，除了將行列互換外，還要將其中每一子塊同時(shí)轉(zhuǎn)置。23都是方陣.分塊對(duì)角矩陣：設(shè)Ａ為ｎ階方陣，若Ａ的分塊矩陣只有主對(duì)角線上有非零子塊（這些非零子塊必須為方陣），其余子塊全為零，那么方陣Ａ就稱為分塊對(duì)角陣.即如24都是分塊對(duì)角陣.25§2.5逆矩陣26使得即對(duì)于

5、任意非零的數(shù)，如果存在另一個(gè)數(shù)，倒數(shù)：則說是的倒數(shù).一、逆矩陣產(chǎn)生的背景矩陣:運(yùn)算中的1，矩陣，在矩陣的運(yùn)算中，單位陣相當(dāng)于數(shù)的乘法那么，對(duì)于矩陣Ａ，是否存在另一個(gè)使得呢?27二、逆矩陣的概念和性質(zhì)例如設(shè)使得則說矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的一個(gè)逆矩陣，記作.對(duì)于階矩陣，如果存在階矩陣，定義2.4.12829注：2.可逆矩陣與它的逆矩陣是同階方陣；3.若是的逆矩陣,則也是的逆矩陣，即、互逆；4.若成立，則也成立。1.不能理解成；30事實(shí)上，若設(shè)和都是的逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的。5.若是可逆矩陣,則的逆矩陣

6、唯一；6.零矩陣不可逆；單位矩陣可逆，且　　　；31例1證明矩陣證明：的逆矩陣為32設(shè)例2證明解：33由，得例3可逆，并求它們的逆矩陣.由設(shè)方陣滿足方程，證明證明34三、可逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律：1.若可逆，則也可逆，2.若、是同階可逆陣，則也可逆，且且證明：特別有：（反序定律）353.若可逆，則也可逆，4.若可逆，則也可逆，且且證明：證明：365.若可逆，則證明：注：、可逆，不一定可逆。即使可逆，一般情況下，不一定成立。37定義1四、逆矩陣的存在性奇異矩陣與非奇異矩陣設(shè)是奇異矩陣是非奇異矩陣38定義2設(shè)為階方陣，的行列

7、式的元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣稱為矩陣的伴隨矩陣。記為39解：40逆矩陣的存在定理：證明若可逆，則矩陣可逆的充要條件是非奇異，且當(dāng)A可逆時(shí)，必要性：充分性：即；4142由逆矩陣的定義可得43解：44例3設(shè)A是非奇異矩陣，且AB=AC，求證：B=C將AB=AC兩端同乘以得證明：由于A是非奇異矩陣，故存在。即從而同理，A可逆時(shí)，由AB=O可得B=O。即消去律成立454、伴隨矩陣的性質(zhì)=4647（反序定律）111)(---=ABAB48例4設(shè)A的逆矩陣為求解：495051525354