馬爾薩斯人口增長.doc

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1、2015年數(shù)學建模論文第二套題目：人口增長模型的確定專業(yè)、：自動化強曉鵬提交日期：2015.7.3題目：人口增長模型的確定摘要人口預測是制定正確的人口政策的科學依據(jù)。預測人口增長的數(shù)學模型通常采用3種函數(shù),即指數(shù)函數(shù)、Logistic函數(shù)和雙曲。3種模型的數(shù)學根源都在于二階Bernoulli式微分方程。文章用matlab等軟件對美國1790-1980年的人口數(shù)據(jù)情況進行研究和處理，得到其人口增長所符合的不同模型結果，并探討是否預測合理。同時，根據(jù)走勢預測了之后幾十年的人口總數(shù)。為控制人口發(fā)展提供了可靠依據(jù)。關鍵詞：美國人口模型matlab馬爾薩斯模型logis

2、tic模型一、問題重述：圖表中給出的是1790-1980年間美國每隔10年的人口記錄情況，從表中可以看出美國人口基本呈增長趨勢。由此，1.將表中的數(shù)據(jù)進行處理建立馬爾薩斯（Malthus）人口指數(shù)增長模型。2.進行分析預測接下來每隔十年的五次人口數(shù)量。3.查閱實際數(shù)據(jù)與預測的數(shù)據(jù)進行對比。4.馬爾薩斯指數(shù)增長模型是否合理，嘗試采用其他模型進行分析。二、問題分析：首先，我們用matlab軟件進行編程（見附錄1），繪制出1790-1980年美國人口數(shù)據(jù)圖，如圖1。圖1.1790-1890年美國人口增長數(shù)據(jù)圖從圖1可以看出1790年到1980年的人口是呈增長的趨勢的

3、，而且類似指數(shù)增長。馬爾薩斯生物總數(shù)增長定律指出：在孤立的生物群體中，生物總數(shù)N的變化率與生物總數(shù)成正比，其數(shù)學模型為=（1）其中r為常數(shù)。則方程組（1）的的解為（2）由此可看出，馬爾薩斯生物總數(shù)增長定律指出任何生物都是隨時間按指數(shù)方式增長的。在此意義下，馬爾薩斯方程（1）又稱指數(shù)增長模型。人作為特殊的生物總群，人口的增長也應滿足馬爾薩斯生物總數(shù)增長定律，此時的（1）式稱為馬爾薩斯人口方程。根據(jù)馬爾薩斯模型進行分析預測，如果預測值與實際值有差別，那么可以改進該模型或者使用其他模型（Logistic）。一、問題假設：1、馬爾薩斯人口增長模型假設馬爾薩斯指數(shù)增長模

4、型可以正確并能合理的預測出未來幾十年美國人口數(shù)量的變化情況，即滿足馬爾薩斯指數(shù)增長的兩個前提：第一，食物是人類生存所必需的；第二，兩性間的情欲是必然的，而且?guī)缀醣３脂F(xiàn)狀。從這兩個固定法則可以得出一個最基本的經(jīng)濟比例：食物或生活資料的增長與人口之間的關系。人口的增殖比生活資料增長的要快，人口是按幾何級數(shù)增長的，而生活資料則只按算術級數(shù)增長。假設人口增長率r保持不變。按此模型進行分析處理，如果該模型不滿足或者預測未來人口數(shù)量有誤差，則采用Logistic等其他模型來解決并進行預測。2、改進的馬爾薩斯人口指數(shù)增長模型由于社會的快速發(fā)展，自然環(huán)境遭受嚴重破壞，人口的高

5、速增長等一系列原因，人口的增長率不能按照馬爾薩斯所假設為一個常數(shù)r不改變。此時假設隨著時間的推移，增長率r和時間t滿足下列關系r=a-bx（3）其a，b為兩個常數(shù)。3、利用Logistic模型預測分析一、變量說明：r:人口增長率t：時間數(shù)據(jù)起始時間a,b均為常數(shù)num:人口預測值p：擬合值B,D,I,E分別表示種群出生率、死亡率、遷入率、遷出率k:環(huán)境容納量一、模型建立：1.常微分方程模型常微分方程模型是在種群水平上描述生物的生存與環(huán)境的關系，即研究某一生物群體或幾種生物群體的數(shù)量或密度的變化規(guī)律。若用x（t）表示t時刻某圍一種群的數(shù)量或密度，將x（t）看作t

6、的連續(xù)函數(shù)，則x（t）的變化與出生、死亡、遷入和遷出等因素有關。若用B、D、I、E分別表示種群的出生率、死亡率、遷入率、遷出率，則種群數(shù)量或密度變化的一般模型是：(4)以下幾個模型基本根據(jù)這個原理建立的。（1）馬爾薩斯（Malthus）模型馬爾薩斯生物總數(shù)增長定律指出：在孤立的生物群體中，生物總數(shù)N(t)考慮到一個國家或地區(qū)的人口總數(shù),對于一個國家而言，遷入率和遷出率相對很小，即人口變化率與出生率和死亡率有關。這樣可設B-D=rx，即人口出生率和死亡率與總人口成正比，這個比例常熟r為自然增長率。其數(shù)學模型為=（5）方程（5）的解為,一般以年為間隔考察人口變化情

7、況，即取t-=0,1,2,¨¨,n,¨¨,這樣就得到以后各年人口總數(shù)為¨¨，這表明人口以公比為的等比級數(shù)的速度增長。（2）改進的馬爾薩斯人口指數(shù)增長模型如果人口增長率不為常數(shù)，且假設其與時間關系如（3）式，則將（3）式帶入（2）式可求得改進后的馬爾薩斯人口指數(shù)增長模型如下所示(6)（3）洛杰斯蒂克（Logistic）模型當人口比較稀少，資源比較豐富的條件下，人口增長比較快，可在短期維持常數(shù)增長率，但當人口數(shù)量增長到一定水平后，會產(chǎn)生許多問題，如食物短缺交通擁擠等，這又將導致人口增長率下降，故假設B-D=rx（1-），這反映了人口的增長率隨人口數(shù)量的增加而下降的

8、現(xiàn)象，此時r稱為固有增長率，k稱為環(huán)境