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1、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算：∞∞nn設(shè)∑axn?與∑bxn?兩個(gè)冪級(jí)數(shù)，收斂半徑分別為R1,R2,則在它們n=0n=0的公共收斂域內(nèi)可以進(jìn)行如下的四則運(yùn)算：i加法和減法：∞∞∞nnn∑∑λμaxnn?±?bx=∑()λμabnn±xnn==00n=0其中λ、μ為常數(shù)。當(dāng)R≠R時(shí)，上式的收斂半徑為12R=min{RR12,}ii乘法和除法：∞∞∞nnn∑∑∑axnn?=bxcx0nnn===000其中cannn=01ba++b?1???+anb1二、和函數(shù)：∞∞n設(shè)nSx()=∑axn∑axn的收斂半徑為R(R>0)，為
2、和函數(shù)，則有以下性質(zhì)n=0n=0成立i和函數(shù)在（-R,+R）內(nèi)可導(dǎo)，并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式：∞∞nn?1Sx′′()(==∑∑axnn)naxnn==00且，同時(shí)求導(dǎo)之后，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變。ii由此，和函數(shù)S（x）在（-R,+R）內(nèi)任意次可導(dǎo)，并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式：∞()kn()kSx()(=∑anx)n=0∞nk?=?∑nn(1)(2n?)(???nk?+1)axnn=0它的收斂半徑仍然為R。iii在（-R,+R）內(nèi)逐項(xiàng)積分公式成立xx∞∞nnan+1∫∫Stdt()==∑∑atdtnx00nn==00n+1并且，逐項(xiàng)積分后
3、收斂半徑也不變∞iv若冪級(jí)數(shù)n∑axn在X=R(-R)出收斂，則該冪級(jí)數(shù)：n=0∞n（A）lim()Sx=∑aRnxR→?n=0∞nlim()Sx=?∑aRn()xR→+n=0（B）可以在[0,R]或者[-R,0]上逐項(xiàng)積分，即：R∞ann+1∫Sxdx()=∑R0n=0n+10∞?ann+1∫Sxdx()=?∑()R?Rn=0n+1（C）逐項(xiàng)求導(dǎo)之后的級(jí)數(shù)∞∞nn?1Sx′′()(==∑∑axnn)naxnn==00在X=R(-R)處可能發(fā)散?！蓿―）若n∑axn在X=R(-R)處發(fā)散，則逐項(xiàng)n=0求導(dǎo)之后的級(jí)數(shù)在X=R
4、(-R)一定發(fā)散?！蓿‥）若n∑axn在X=R(-R)處發(fā)散，則逐項(xiàng)n=0求積分之后的級(jí)數(shù)xx∞∞nnan+1∫∫Stdt()==∑∑atdtnx00nn==00n+1在X=R(-R)可能收斂。三、和函數(shù)的性質(zhì)：∞n（1）性質(zhì)1：設(shè)冪級(jí)數(shù)∑axn的收斂半徑為R（R>0），n=0則其和函數(shù)S（x）在區(qū)間（-R,+R）連續(xù)，如果冪級(jí)數(shù)在X=R或者-R也收斂，則其和函數(shù)在R或者-R也連續(xù)。（2）性質(zhì)2：和函數(shù)求導(dǎo)公式（3）性質(zhì)3：和函數(shù)求積分公式四、冪級(jí)數(shù)的求和：第一.步：經(jīng)過(guò)適當(dāng)變性，對(duì)和函數(shù)求導(dǎo)。第二.步：然后對(duì)導(dǎo)函數(shù)求積分
5、。第三.步：確定和函數(shù)的定義域（根據(jù)和函數(shù)性質(zhì)（1））五、補(bǔ)充知識(shí)：12n（1）=++1(xx+???+x+????<<1x1)1?x12nn（2）=?+1(xx????+?1)x+????<<(1x1)1+x
