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1、上海工程技術(shù)大學(xué)教育研究3/2010利用微分方程求冪級數(shù)的和函數(shù)沈亦一(上海工程技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院上海201620)x摘要在多數(shù)高等數(shù)學(xué)教材中,e,sinx的展開式都是利用直接展開法得到的。本文利用x微分方程給出了e,sinx的展開式,這種方法更容易被學(xué)生所接受,也可以節(jié)省課堂教學(xué)的時間。利用微分方程求冪級數(shù)的和函數(shù)也是考研數(shù)學(xué)的一個重要知識點。關(guān)鍵詞冪級數(shù);和函數(shù);微分方程;考研數(shù)學(xué)n在大多數(shù)高等數(shù)學(xué)教材中,微分方程都x0)并求其收斂區(qū)間I;(3)證明limRn(x)n?!是編排在無窮級數(shù)后面的。因而在教學(xué)
2、中,f(n+1)()n=lim(x-x0)對于x#I均成立。普遍面臨著這樣的一個問題。利用間接展開n?!(n+1)!x法將函數(shù)展開成冪級數(shù)時需要用到e,sinx!從而將f(x)展開成冪級數(shù),即f(x)=的展開式,而這兩個展開式都是利用直接展n=0(n)f(x0)開法作為例題給出的。直接展開法步驟多,(x-xn0)(x#I)。直接展開法的思n!難度大,不宜被學(xué)生所理解和掌握。近來,有路很明確,但在使用的過程中會遇到許多困部分高等數(shù)學(xué)教材改變了傳統(tǒng)的內(nèi)容編排順(n)難。首先對于多數(shù)函數(shù)給出f(x)并不總序,將微分方程提到無窮級數(shù)的前面
3、,這就使是切實可行;其次是limRn(x)=0的證明。得我們可以利用微分方程求冪級數(shù)的和n?!函數(shù)。x1間接展開法是在e,sinx,等函數(shù)展開式本文利用微分方程給出了,的展開式,這1-x種方法更容易被學(xué)生所接受,也可以節(jié)省課堂的基礎(chǔ)上,通過恒等變形,利用冪級數(shù)逐項求教學(xué)的時間。在研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試中,求冪導(dǎo)和逐項積分的性質(zhì),將f(x)展開成冪級數(shù)。間接展開法相比之下簡便易行,但需要級數(shù)的和函數(shù)是一個重要的知識點,掌握利用x微分方程求冪級數(shù)的和函數(shù)這一方法,有助于一定的技巧,同時間接展開法離不開e,提高考生綜合運用所學(xué)知識的能力。1s
4、inx,等函數(shù)的展開式,而在多數(shù)高等數(shù)1-xx學(xué)教材中,e,sinx的展開式都是利用直接展一、用間接展開法將和展成的冪級數(shù)開法得到的。我們也看到有些教材在內(nèi)容的編排上有函f(x)數(shù)展開成冪級數(shù)的方法分為直所創(chuàng)新,最明顯的變化是將微分方程編排在接展開法和間接展開法。直接展開法包括以(n)無窮級數(shù)的前面。微分方程也可以用來求冪下步驟:(1)求出f(x0)(n=1,2,);!(n)n!f(x0)級數(shù)的和函數(shù)。若對S(x)=anx逐項求n=0(2)寫出f(x)的泰勒級數(shù)(x-n=0n!導(dǎo)后不能直接求得和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)S?(x),但%59%2是
5、可以導(dǎo)出和函數(shù)S(x)所滿足的一個微分un+1(x)xlim=lim=0<1,n?!n?!2n+1方程,并容易確定其初值,則通過求解該微分un(x)方程的初值問題就可求得冪級數(shù)的和函數(shù)S故對于任意的x,級數(shù)!2n-1(x)。n-1xx(-1)下面通過求解微分方程,給出e,sinx的n=1(2n-1)!展開式。都是收斂的,因而冪級數(shù)02!2n-1!xxn-1x例1求冪級數(shù)=1+x+++(-1)n=0n!2!n=1(2n-1)!nx的收斂區(qū)間為(-!,+!)。設(shè)其和函數(shù)為+的和函數(shù)。n!f(x),則解:!2n-1n-1xf(x)=
6、(-1)=an+1n!n=1(2n-1)!=lim=lim=n?!an?!(n+1)!32n-1nxn-1xx-++(-1)+13!(2n-1)!lim=0,n?!n+1(-!7、-!8、即e==1+x++++n=0n!2!n!!2n-1n-1xsinx=(-1)=(-!
