利用微積分算子求冪級數(shù)的和函數(shù)(1)

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1、第14卷第3期2011年5月高等數(shù)學研究STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS利用微積分算子求冪級數(shù)的和函數(shù)彭凱軍,孫勝先,蘇燦榮(合肥工業(yè)大學數(shù)學學院,安徽合肥230009)Vol.14,No.3May,2011摘要針對冪級數(shù)求和函數(shù)的問題,引入借助微分算子、積分算子和微分方程進行計算的方法,可作為逐項微分法和逐項積分法的一種補充.實例說明其應(yīng)用.關(guān)鍵詞冪級數(shù);微分算子;積分算子;微分方程中圖分類號O173文獻標識碼A文章編號1008-1399(2011)03-0037

2、-02針對冪級數(shù)求和函數(shù),常用的方法是在收斂區(qū)間內(nèi)對冪級數(shù)采用的逐項微分和逐項積分,化復雜的冪級數(shù)為幾種常見的冪級數(shù)[1],這種方法計算量較大,并且容易產(chǎn)生錯誤.本文給出以下三種利用微分思想求和函數(shù)的方法.xD=xd,dx由定理1得(xD)xn=x#nxn-1=nxn,,,,,,(xD)k-1xn=nk-1xn.1微分算子法因此定理1設(shè)f(x)為任一整系數(shù)多項式,dx是一階微分算子,則有nn證明不妨設(shè)f(x)=c(x-x1)(x-x2),(x-xk),因為nnnn所以f(xD)xn=c(xD-x1)(

3、xD-x2),(xD-xk)xn=]]==n=1n!n=1n!](xD)k-1n=1(n-1)!k-1x其中pk(x)為x的k次多項式.令x=1,則可得]nk=f(1)=pk(1)#e.n=1n!推論1設(shè)f(x)為任一整系數(shù)多項式試證級數(shù)f(1)f(2)f(n)+n!之和必為e的整數(shù)倍.c(n-x1)(n-x2),(n-xk)xn=f(n)xn.證明因為f(x)為任一整系數(shù)多項式,故由[2]證明:對任一正整數(shù)k,級數(shù)n=1k定理1可得f(xD)xn=f(n)xn,的整數(shù)倍.證明題中級數(shù)的收斂

4、半徑故可設(shè)]引入一階微分算子kn!(n+1)f(x)=nkxn,xI(-],+]).n=1n!因此+]+]f(n)nf(xD)nx=x=n=0n!n=0n!nf(xD)f(xD)ex=g(x)ex,n=0其中g(shù)(x)為非零整系數(shù)多項式.令x=1,即可知+]f(n)=g(1)e.n=0n!收稿日期:2010-04-29;修改日期:2011-03-21.2積分算子法基金項目:合肥工業(yè)大學校級精品課程項目(數(shù)學分析);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(119-4115090004).定理2[3]

5、設(shè)g(x)為任一整非零系數(shù)多項式,作者簡介:彭凱軍(1979-),男,湖南韶山人,理學碩士,講師,從事計算數(shù)學研究.lxy_pkj@126.com.xD=xddxxD=xdf(xD)x=f(n)x.(xD-xk)x=xDx-xkx=(n-xk)x,nk-1xn(xD)k-1xnEEx#xn-1=E(xe)=pk(x)ex.(xD)E+,++,f(0)+1!2!,例1]En!為enan=lim]n(n+1!)k=+].R=liman+1nyEEE+]xEn!=E38為微分算子,令稱之為積分算子,則有xDn

6、+1x0高等數(shù)學研究例3解法1則有]2011年5月]12n+1xn=0原級數(shù)的收斂域為(-],+]),設(shè)2n+1n=0(2n+1)!證明例2與對定理1的證明類似,從略.n-1求冪級數(shù)x2n的收斂域及和n=12n-1從而有fc(x)=]E1(2n)!x2n,函數(shù).解原級數(shù)的收斂域為[-1,1],由定理2,有fc(x)+f(x)=]E1xn=ex.n!]]n=12n-1n=12n-1]2x21)n-11#1x2n-2=n=1xD]xDn=1x2=x2=xarctanx.0解此一

7、階線性微分方程可得]f(x)=n=0(2n+1)!1ex-1e-x.22解法2由定理3可知fd(x)=f(x),解此二階常系數(shù)齊次微分方程可得相同結(jié)果.3微分方程法綜上所述,本文介紹了利用微分思想來求冪級數(shù)的和函數(shù),主要介紹了三種在本科教學和研在實際計算過程中,我們還可能遇到含階乘運]13nn=0(3n)!級數(shù),如果能夠通過求導降次,構(gòu)造微分方程,從而究生入學考試中不常用的方法.這兩種方法以供教師教學中拓廣學生思路,考研學生考試中豐富自己解題手段.補充冪級數(shù)使得變成一個標準冪級數(shù)話,我們可再利用常見的

8、冪級數(shù)來求解.]En參考文獻[1]陳傳璋.數(shù)學分析:下冊[M].2版.北京:高等教育出版社,1995:656.[4]設(shè)冪級數(shù)]En(kn+l)!xkn+l在收斂[2]吳良森,毛羽輝,宋國棟,等.數(shù)學分析習題精解[M].北京:科學出版社,2001:309-310.域內(nèi)的和函數(shù)為f(x)(其中k2,而l為整數(shù),a,b為實數(shù)),則有[3]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].2版.北京:高等