微分法 二階導(dǎo)數(shù)和二階微分課件.ppt

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1、§2-3微分法二階導(dǎo)數(shù)和二階微分一、四則運算法則定理注意：函數(shù)u(x),v(x)在點x處可導(dǎo)這一條件必不可少。證(3)證(1)、(2)略.注①（1）即是和、差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和、差（2）即是乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘以第二個因子再加上第一個因子乘以第二個因子的導(dǎo)數(shù)（3）即是商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)乘以分母減去分子乘以分母的導(dǎo)數(shù)，再除以分母的平方②（1）可推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的情形③（2）也可推廣到任意有限個函數(shù)的情形即線性組合的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的線性組合——說明求導(dǎo)是一線性運算⑤作為（3）的一種特殊情況，④作為（2）的特殊情況即常數(shù)因子可以提到導(dǎo)數(shù)符號的

2、外面可以先計算導(dǎo)數(shù),再計算微分dy=f?(x)dx也可以先計算微分再計算導(dǎo)數(shù)例1解法1解法2例2解同理可得例3解同理可得2.鏈?zhǔn)焦綇?fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理證推廣例1解例2解例3解微分形式的不變性結(jié)論：微分形式的不變性例1解例2解例1設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù):關(guān)于抽象函數(shù)求導(dǎo)舉例：例2解反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(p99)定理證于是有例1解同理可得例2解常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的微分公式隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)(P95,）1.隱函數(shù):由二元方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).把一個隱函數(shù)化為顯函數(shù)的過程,稱為隱函數(shù)的顯化.如:x2+y2=1,y=但并

3、非每個隱函數(shù)都可顯化,例如：ey+xy=02.隱函數(shù)的求導(dǎo)法設(shè)由方程F(x,y)=0確定一個函數(shù)y=y(x),則F(x,y(x))=0,兩邊對x求導(dǎo)(或兩邊微分）,即可解出導(dǎo)數(shù)y?(x).注意:y=y(x)為x的函數(shù).例1解解得注意：現(xiàn)在y是x的函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：例2設(shè)由確定y為x的函數(shù),求dy.解應(yīng)用微分的運算法則及一階微分形式的不變性,有4.冪指函數(shù)求導(dǎo)對數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)方法:先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).--------對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:一般地例1解等式兩邊取對數(shù)得例2解等式兩邊取對數(shù)得注意：在對數(shù)求導(dǎo)法中，總是要遇到

4、lny對x的導(dǎo)數(shù)5（P97）由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)問題:消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?注：擺線(旋輪線)是數(shù)學(xué)、力學(xué)和物理上比較最要的曲線.伽利略第一位研究（意大利,1564—1642）提出按旋輪線形造橋；例解所求切線方程為6.二階導(dǎo)數(shù)的定義問題:定義記作例1解由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).例2解同理可得例3解由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)例1解例2：設(shè)求設(shè)存在且不為零。解：例1解隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：例2設(shè)y=y(x)由方程ey=xef(y)確定,f二階可導(dǎo),f??1,求y?.解方程兩邊對x求導(dǎo):eyy?=ef(y)+xef(y)f?(y)

5、y?故解可導(dǎo)不一定存在故用定義求例設(shè)連續(xù)，且，求.抽象函數(shù)二階微分的定義二階微分不具有形式不變性例1解應(yīng)用題：例2、證明星形線上任一點的切線介于兩坐標(biāo)軸之間的一段等于定長a。解：有隱函數(shù)求導(dǎo)法從而，在點(x0,y0)的切線方程在兩坐標(biāo)軸上的截距為例3解所求切線方程為顯然通過原點.例4解仰角增加率例5.證明曲線xy=a2(a>0)上任意點切線與坐標(biāo)軸組成三角形面積等于常量。證明：設(shè)任意點（x0,y0）兩端對x求導(dǎo)數(shù)y+xy?=0y?(x0,y0）=-y0/x0切線方程：y-y0=-y0/x0(x-x0),與兩軸交點（0,2y0）(2x0,0)故三角形面積=1/

6、2（2x02y0）=2a2命題成立例6如圖是個高4米底半徑2米的圓錐容器，若以2米3/秒速度注水，求水深3米時水面的上長速度。解V=1/3(πr2h)2相似三角形：r/2=h/4,r=h/2代入得4rV=πh2/12h兩邊對t求導(dǎo)解得相關(guān)變化率