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《微積分x02-3微分法 二階導(dǎo)數(shù)和二階微分課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§2-3微分法二階導(dǎo)數(shù)和二階微分一、四則運(yùn)算法則定理注意：函數(shù)u(x),v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)這一條件必不可少。證(3)證(1)、(2)略.可以先計(jì)算導(dǎo)數(shù),再計(jì)算微分dy=f’(x)dx也可以先計(jì)算微分再計(jì)算導(dǎo)數(shù)例1解法1解法2例2解同理可得例3解同理可得例4解.反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理證于是有例1解同理可得例2解2鏈?zhǔn)焦?復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理證由條件在可導(dǎo)為什么時(shí)，？在連續(xù)當(dāng)時(shí)，推廣例1解例2解例3解例4解例1設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù):關(guān)于抽象函數(shù)求導(dǎo)舉例：例2冪指函數(shù)求導(dǎo)解：例4解微分形式的不變性結(jié)論：微分形式的不變性例1解例2
2、解例解在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的微分公式隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)(P95,）1.隱函數(shù):由二元方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).把一個(gè)隱函數(shù)化為顯函數(shù)的過程,稱為隱函數(shù)的顯化.如:x2+y2=1,y=但并非每個(gè)隱函數(shù)都可顯化,例如：ey+xy=02.隱函數(shù)的求導(dǎo)法設(shè)由方程F(x,y)=0確定一個(gè)函數(shù)y=y(x),則F(x,y(x))=0,兩邊對(duì)x求導(dǎo)(或兩邊微分）,即可解出導(dǎo)數(shù)y’(x).注意:y=y(x)為x的函數(shù).例1解解得注意：現(xiàn)在y是x的函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：于是xd
3、y-ydx=xdx+ydy,.例2設(shè)由確定y為x的函數(shù),求dy.解應(yīng)用微分的運(yùn)算法則及一階微分形式的不變性,有對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)方法:先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).--------對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:一般地例1解等式兩邊取對(duì)數(shù)得例2解等式兩邊取對(duì)數(shù)得注意：在對(duì)數(shù)求導(dǎo)法中，總是要遇到lny對(duì)x的導(dǎo)數(shù)（P97）由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例如消去參數(shù)問題:消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?注：擺線(旋輪線)是數(shù)學(xué)、力學(xué)和物理上比較最要的曲線.伽利略第一位研究（意大利,1564—1642）提出按旋輪線形造橋；伯努利（瑞士數(shù)學(xué)家1
4、667—1748）證明倒擺線是最速降線；惠更斯（荷蘭物理學(xué)家1629—1659）證明擺線是等時(shí)曲線即不管質(zhì)點(diǎn)P在倒擺線哪個(gè)位置，滑到底部鐘擺完成一次擺動(dòng)所用時(shí)間相同例解所求切線方程為二階導(dǎo)數(shù)的定義問題:定義記作例1解由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).例2解同理可得例3解由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)例1解例2：設(shè)求設(shè)存在且不為零。解：例1解隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：例2設(shè)y=y(x)由方程ey=xef(y)確定,f二階可導(dǎo),f??1,求y?.解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo):eyy?=ef(y)+xef(y)f?(y)y?故解可導(dǎo)不一定存在故用定義求例設(shè)連續(xù)，且
5、，求.抽象函數(shù)二階微分的定義一階微分定義二階微分不具有形式不變性例1解應(yīng)用題：例2、證明星形線上任一點(diǎn)的切線介于兩坐標(biāo)軸之間的一段等于定長a。解：有隱函數(shù)求導(dǎo)法從而，在點(diǎn)(x0,y0)的切線方程在兩坐標(biāo)軸上的截距為例3解所求切線方程為顯然通過原點(diǎn).例4證明曲線xy=a2(a>0)上任意點(diǎn)切線與坐標(biāo)軸組成三角形面積等于常量。證明：設(shè)任意點(diǎn)（x0,y0）兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)y+xy’=0y’(x0,y0）=-y0/x0切線方程：y-y0=-y0/x0(x-x0),與兩軸交點(diǎn)（0,2y0）(2x0,0)故三角形面積=1/2（2x02y0）=2a2命題成
6、立例5如圖是個(gè)高4米底半徑2米的圓錐容器，若以2米3/秒速度注水，求水深3米時(shí)水面的上長速度。解V=1/3(πr2h)2相似三角形：r/2=h/4,r=h/2代入得4rV=πh2/12h兩邊對(duì)t求導(dǎo)解得相關(guān)變化率例6解仰角增加率
