中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)練習(xí)：梯形.doc

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1、例01．如圖，已知：四邊形ABCD是等腰梯形，其中，若，，.求：梯形ABCD的面積.分析：由已知條件知，梯形ABCD是等腰梯形，由于等腰梯形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，由圖中的輔助線很容易想到.在此基礎(chǔ)上應(yīng)用勾股定理，就可以解決問(wèn)題.解答：過(guò)點(diǎn)D、C作于E，于F.則根據(jù)等腰梯形的軸對(duì)稱性可知：.∵，∴四邊形CDEF是矩形.∴.∴在中，根據(jù)勾股定理有，∴.說(shuō)明等腰梯形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，在計(jì)算等腰梯形的有關(guān)量時(shí)，就要從上底的兩個(gè)端點(diǎn)作下底的垂線，從而產(chǎn)生一個(gè)矩形和兩個(gè)全等的直角三角形，然后我們就可以根據(jù)等腰梯形的對(duì)稱性，矩形自身的性質(zhì)以及全等的直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．例02．如圖，已知：在梯形ABCD中

2、，，AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：.分析圖中有兩條線AD和BC是平行的，也就是說(shuō)一條直線上的各點(diǎn)到另一條直線的距離相等．所以如果出現(xiàn)同底的三角形，就可以保證其面積相等，因此，在這個(gè)圖形中就能出現(xiàn)面積相等的三角形．證明：∵，∴A、D兩點(diǎn)到BC的距離相等.即中BC邊上的高與中BC邊上的高相等.∴（等底等高）.∴∴說(shuō)明本題中，我們也可以用和的面積相等，推出和的面積相等，等底等高的性質(zhì)在證明三角形及四邊形的面積問(wèn)題時(shí)，起關(guān)鍵作用.例03．如圖，已知：AD是的平分線，，，.（1）求證：四邊形ADCE是等腰梯形.（2）若的周長(zhǎng)為，求四邊形ADCE的周長(zhǎng).分析：（1）由角平分線和平行線可得到一些相等的角，如

3、.從而有，再由推導(dǎo)出，則容易得出結(jié)論，∵，∴能證出四邊形ADCE是梯形，再由已知條件容易證出，因此有，所以可證出四邊形ADCE是等腰梯形.（2）因?yàn)樗倪呅蜛DCE是等腰梯形，由給出條件容易求出四邊形ADCE的周長(zhǎng).證明：（1）∵（已知），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵（角平分線定義），∴.∴（等角對(duì)等邊）∵（已知），∴即∴（等邊對(duì)等角）又∵（對(duì)頂角相等），∴∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）而，∴四邊形ADCE是梯形.又∵，∴，∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.∴四邊形ADCE是等腰梯形.解答：（2）∵四邊形ADCE是等腰梯形，∴，∴梯形ADCE的周長(zhǎng)而的周長(zhǎng)，∴∵，∴即∴梯形ADCE的周長(zhǎng)說(shuō)明等腰

4、梯形的判定，一般是先判定一個(gè)四邊形是梯形，然后再由“兩腰相等”或“同一底上的兩個(gè)角相等”來(lái)判定它是等腰梯形，要判定一個(gè)四邊形是梯形時(shí)，判定一組對(duì)邊不平行常常有困難，所以可用判定平行的兩邊不相等的方法來(lái)解決．例04．已知等腰梯形的銳角等于，它的兩底分別是和，求它的腰長(zhǎng).已知：如圖，在梯形ABCD中，，，.求：AB的長(zhǎng).分析：要求AB的長(zhǎng)，也就是求腰長(zhǎng)，我們通過(guò)作輔助線，將已知條件集中在一個(gè)三角形中，過(guò)A作交BC于E，得到一個(gè)AECD和.那么由已知條件易知是等邊三角形，則由，就可以解決問(wèn)題了.解答：過(guò)點(diǎn)A作交BC于E，∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴（等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等）又∵，∴四邊形A

5、ECD是平行四邊形.∴∵，∴∴是等邊三角形.又∵，∴∴例05．如圖，已知：在直角梯形ABCD中，，E為BC邊上的一點(diǎn)，且，，.求證：分析：由已知條件，，可得，且，因此是等邊三角形，又可知是等腰直角三角形，所以連結(jié)AC，則AC就是ED的垂直平分線.所以只要證或?yàn)?，?wèn)題就解決了.證明：連結(jié)AC，則∵,∴又∵，∴是等邊三角形.∴A點(diǎn)在ED的垂直平分線上，∵∴是等腰直角三角形.∴C點(diǎn)在ED的垂直平分線上.∴AC是線段ED的垂直平分線.∴∵，∴例06．如圖，四邊形ABCD中，，，且AB與CD不平行.求證：四邊形ABCD是等腰梯形.證明：過(guò)D作交BC于E.∵，∴∴∵∴∴四邊形ABED是平行四邊形.∴∵A

6、B與CD不平行，且∴四邊形是等腰梯形.說(shuō)明本題考查等腰梯形的判定，易錯(cuò)點(diǎn)是證明時(shí)忽視AB與CD不平行這個(gè)重要步驟，解題關(guān)鍵是平移一腰.例07．已知：如圖，梯形ABCD中，，，，，.求BC的長(zhǎng).解法1如圖，延長(zhǎng)DA，CB交于F.∵，∴∴∴∴.∴解法2如圖，作，交DC于E.∵，∴在中，∵，∴∴∴∴，∴分析本題綜合考查了梯形的性質(zhì)及等腰三角形的判定，易錯(cuò)點(diǎn)是作輔助線后探索不出圖中所含的等腰三角形.解題關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線.例08．已知梯形ABCD中，，E、F是兩底中點(diǎn)的連線.求證：.錯(cuò)解如下圖，延長(zhǎng)BA，CD交于G，連結(jié)GE，GF.∵.∵E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，∴∴正解1如上圖，延長(zhǎng)BA，

7、CD交于G，連結(jié)GE，GF.∵，∴∵E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，∴∴∵，∴.∴∴GE，GF重合.∴正解2如圖，過(guò)點(diǎn)E作交BC于M，作交BC于N.∴∵，∴∴，∵∴∵E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，∴，∴∴正解3如圖，過(guò)D作交BC于M，取MC中點(diǎn)N，連結(jié)DN，則.∵，∴∴∵，∴∴∴∵F，N分別為BC，MC中點(diǎn)，∴∴四邊形EFND是平行四邊形.∴.說(shuō)明錯(cuò)解中忽視了證明GE，GF重合.例09．如圖，在梯形ABCD中，