常微分方程―二階線性,常系數(shù)課件.ppt

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1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組第8章常微分方程高等數(shù)學(xué)A8.3幾種高階微分方程的解法8.3.2二階線性微分方程的解法8.3.3二階常系數(shù)齊次線性微分方程8.3幾種高階微分方程的解法非齊次方程求線性無關(guān)的解——常數(shù)變易法齊次方程求線性無關(guān)的解——降階法8.3.2二階線性微分方程的解法習(xí)例1-28.3.3二階常系數(shù)齊次線性微分方程建立模型常系數(shù)方程的定義和解法模型求解與分析習(xí)例3-6n階常系數(shù)方程的通解習(xí)例7-9二階線性方程與二階常系數(shù)齊次線性方程的解法降階法與常數(shù)變易法1.齊次線性方程求線性無關(guān)特解------降階法代入(1)式,得則有解得劉維爾公式齊次方程通解為降階法

2、的一階方程2.非齊次線性方程通解求法------常數(shù)變易法設(shè)對應(yīng)齊次方程通解為(3)設(shè)非齊次方程通解為設(shè)(4)(5)(4),(5)聯(lián)立方程組積分可得非齊次方程通解為例1例2的通解．解對應(yīng)齊方一特解為由劉維爾公式對應(yīng)齊方通解為例1設(shè)原方程的通解為解得原方程的通解為解上述可降階微分方程,可得通解:例2的通解.解:對應(yīng)齊次方程為由觀察可知它有特解:令代入非齊次方程后化簡得故原方程通解為補(bǔ)充內(nèi)容可觀察出一個特解模型.解:質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運(yùn)動,初始求物體的運(yùn)動規(guī)律立坐標(biāo)系如圖,設(shè)t=0時物體的位置為取其平衡位置為原點(diǎn)建因此定解問題為由8.3.

3、2的模型可知,位移滿足常系數(shù)線性微分方程定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程，即特征方程二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為是方程(1)的兩個線性無關(guān)的解，故方程(1)的通解為二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為由求根公式由劉維爾公式求另一個解：于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時，方程(1)的通解為二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為3)特征方程有一對共軛復(fù)根：是方程(1)的兩個線性無關(guān)的解，其通解為利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位i。歐拉公式：由線性方程

4、解的性質(zhì)：均為方程(1)的解，且它們是線性無關(guān)的：故當(dāng)特征方程有一對共軛復(fù)根時，原方程的通解可表示為二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式方程:特征方程:特征根:利用初始條件得:故所求特解:方程通解:1)無阻尼自由振動情況(n=0)解的特征:簡諧振動A:振幅,?:初相,周期:固有頻率(僅由系統(tǒng)特性確定)方程:特征方程:特征根:小阻尼:nk臨界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征小阻尼自由振動解的特征:由初始條件確定任意常數(shù)后變形運(yùn)動周期:振幅:衰減很快,隨時間t的增大物體趨于平衡位置.大阻尼解的特征:(

5、n>k)1)無振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):2)對任何初始條件即隨時間t的增大物體總趨于平衡位置.臨界阻尼解的特征:(n=k)任意常數(shù)由初始條件定,最多只與t軸交于一點(diǎn);即隨時間t的增大物體總趨于平衡位置.2)無振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):例4例3例5例6求解初值問題解特征方程為解得故所求通解為例3解特征方程為解得故所求通解為例4例5的通解.解特征方程特征根:因此原方程的通解為例6求解初值問題解特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為n階常系數(shù)齊次線性微分方程形如的方程，稱為n階常系數(shù)齊線性微分方程，n階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為特征根通解中的對應(yīng)項例8求下列方

6、程的通解：例7例9已知一個四階常系數(shù)線性齊次微分方程的４個線性無關(guān)的特解為求這個微分方程及其通解.例7解例8求下列方程的通解：解故原方程的通解為故原方程的通解為例9已知一個四階常系數(shù)線性齊次微分方程的４個線性無關(guān)的特解為求這個微分方程及其通解.解依題意有特征方程故所求微分方程為且其通解為