資源描述：
《常系數(shù)線性常微分方程》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、常系數(shù)高階線性微分方程一.常系數(shù)線性齊次微分方程二.常系數(shù)線性非齊次微分方程第六章常系數(shù)齊次線性微分方程基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化第六章二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為(r為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.2.當時,特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為3.當時,特征方程有一對共軛復(fù)根這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:利
2、用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為小結(jié):特征方程:實根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.若特征方程含k重復(fù)根若特征方程含k重實根r,則其通解中必含對應(yīng)項則其通解中必含對應(yīng)項特征方程:例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.求解初值問題解:特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例4.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解例5.解:特征方程:即其根為方程通解:例6.解:特征方程:特征根為則方程通解:內(nèi)容小結(jié)特征根:(1)當時,通
3、解為(2)當時,通解為(3)當時,通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.思考與練習求方程的通解.答案:通解為通解為通解為思考題為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.解:根據(jù)給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為常系數(shù)非齊次線性微分方程一、二、第六章二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法一、?為實數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若?不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m次多項
4、式.Q(x)為m次待定系數(shù)多項式(2)若?是特征方程的單根,為m次多項式,故特解形式為(3)若?是特征方程的重根,是m次多項式,故特解形式為小結(jié)對方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當?是特征方程的k重根時,可設(shè)特解例1.的一個特解.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為例2.的通解.解:本題特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為例3.求解定解問題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得于是所求解為解得二
5、、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點第一步利用歐拉公式將f(x)變形第二步求如下兩方程的特解是特征方程的k重根(k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設(shè)則②有特解:第三步求原方程的特解利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程均為m次多項式.第四步分析因均為m次實多項式.本質(zhì)上為實函數(shù),小結(jié)對非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的k重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.例4.的一個特解.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是
6、求得一個特解例5.的通解.解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為例6.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:思考與練習時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為提示:1.(填空)設(shè)2.求微分方程的通解(其中為實數(shù)).解:特征方程特征根:對應(yīng)齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為3.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方
7、程通解:原方程通解為振動問題當重力與彈性力抵消時,物體處于平衡狀態(tài),例1.質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運動,解:阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖.設(shè)時刻t物位移為x(t).(1)自由振動情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移滿足的微分方程.據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動方程:阻力(2)強迫振動情況.若物體在運動過程中還受鉛直外力則
