求常系數(shù)線性常微分方程特解有限遞推法

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1、求一類常系數(shù)線性常微分方程特解的有限遞推法*方有康**北京航空航天大學(xué)北海學(xué)院Email:fykfyk2004@yahoo.com.cn*收入教育數(shù)學(xué)深圳會(huì)議論文集；被寫入教材《高等數(shù)學(xué)新講》(2008.10)；發(fā)表于《數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐》(2009.09）**作者簡(jiǎn)介：教育數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)個(gè)人常務(wù)理事。北京航空航天大學(xué)北海學(xué)院教授。德國(guó)Albert-Ludwigs-University(Freiburg)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)博士。摘要:對(duì)于非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式，指數(shù)函數(shù)，正(余)弦函數(shù)，或它們的乘積形式的常系數(shù)線性常微分方程，本文提出了求其特解

2、的有限遞推法.它方法統(tǒng)一，計(jì)算簡(jiǎn)潔，便于編程，能解決高階問題,能在有限步內(nèi)得出方程的解析特解，因而優(yōu)于目前廣泛采用的待定系數(shù)法.關(guān)鍵詞：常系數(shù)線性常微分方程；遞推法；待定系數(shù)法MR(2000)主題分類11D41中圖分類O175.111.問題的提出本文求如下的n階常系數(shù)線性常微分方程的特解:(1.1)(1.2)式中;=1;∈R;∈c;.在科學(xué)技術(shù)上,這是一類很重要的微分方程.目前國(guó)內(nèi)外的高等數(shù)學(xué),工程數(shù)學(xué)或常微分方程的教科書中都采用待定系數(shù)法來求這類微分方程的特解.這需要首先求出所對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征根（因?yàn)橐_定特征方程各特

3、征根的重?cái)?shù)），再按是特征根的重?cái)?shù)（當(dāng)(1.1)或(1.2)的右端不含三角函數(shù)時(shí)）設(shè)特解為；8當(dāng)(1.1)或(1.2)的右端含三角函數(shù)時(shí)，按是特征根的重?cái)?shù)設(shè)特解為.然后計(jì)算的各階導(dǎo)數(shù)，再把它們代回原方程中,比較方程兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得出一個(gè)線性方程組,然后再解這個(gè)線性方程組才能求出的各項(xiàng)待定系數(shù).整個(gè)求解過程繁瑣，計(jì)算量大.特別是方程的右端是高次多項(xiàng)式和三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的乘積時(shí)，求導(dǎo)過程中的各階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式的項(xiàng)數(shù)將以幾何級(jí)數(shù)的方式急劇增加，得出的線性方程組也是一個(gè)大型的線性方程組.當(dāng)方程階數(shù)較大時(shí)，待定系數(shù)法更是顯得無能為力.

4、本文提出的有限遞推法無需先求出所對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征根，無需設(shè)定特解的形式且具有計(jì)算簡(jiǎn)潔，方法統(tǒng)一，便于編程，能解決高階問題和能在有限步內(nèi)得出方程的解析特解的特點(diǎn),很好地解決了待定系數(shù)法所遇到的困難.2．主要成果讓我們首先來解決方程右邊僅為多項(xiàng)式的情況，設(shè)方程(2.1)式中為的次多項(xiàng)式.不失一般性,我們規(guī)定上式中≠0.因?yàn)槿舨蝗?我們可以令方程左邊非零最低階項(xiàng)為新的,其余各項(xiàng)(可以為零)按的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)由低到高分別為,且方程右邊不變，對(duì)這樣得出的新方程我們稱之為原方程的降階方程.求出降階方程的特解再積分,就得出原方程的特解.例

5、如要求的特解,我們先求出的特解,再對(duì)其積分就得出原方程的特解了.定理1令方程(2.1)左端導(dǎo)數(shù)階數(shù)最小(非零)項(xiàng)為記,則當(dāng)時(shí)(當(dāng)時(shí),方程的特解顯然為),方程的特解可由如下的遞推公式最多在步內(nèi)推出:,(2.2)對(duì)計(jì)算(2.3).(2.4)8證明當(dāng)時(shí),用(2.1)式的兩邊對(duì)求導(dǎo)次,便得出(2.2)式(此時(shí)的高于的各階導(dǎo)數(shù)為零).因?yàn)樵谏鲜銮髮?dǎo)過程中(2.3)式中右邊的各項(xiàng)都已求得,所以再按(2.3)進(jìn)行初等的代數(shù)遞推便可得出(2.4).例1求方程的特解.解我們首先求其降階方程(2.5)的特解。這里.對(duì)方程次求導(dǎo)并刪除高于的各項(xiàng)(

6、顯然等于零),我們有,(2.6).以代入(2.6)得再代入(2.5)得.積分之,得所求原方程的特解為.對(duì)于方程右端是指數(shù)函數(shù)，正(余)函數(shù)與多項(xiàng)式的乘積形式,我們有如下的定理及其推論.定理2設(shè)是方程(2.7)的特解,是方程(2.8)的特解,式中如定理1所定義.令,(2.9)是(2.1)所對(duì)應(yīng)的齊次方程關(guān)于的特征多項(xiàng)式,,(2.10)8(2.11),則必有.證明對(duì),方程(2.7),(2.8)可寫為,(2.12).(2.13)將(2.13)代入(2.12)得.(2.14)比較(2.14)兩邊同階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)給出.當(dāng)時(shí),方程(2.7),

7、(2.8)可寫為,(2.15)和.(2.16)將(2.16)代入(2.15)得=(+2)+()+=++.對(duì)上式應(yīng)用兩個(gè)函數(shù)乘積的二階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式,我們有,(2.17)比較(2.17)兩邊同階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)得.一般地,對(duì),將(2.8)代入(2.7)得.代入(2.9),(2.10)和(2.11)所給出的各的值,我們有=+…+.8對(duì)上式用兩個(gè)函數(shù)乘積的階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式得出.于是,.證畢.推論2.1方程(1.1)的特解是=Re();方程(1.2)的特解是=Im().推論2.2方程的特解是=.例2求方程的特解.解先確定方程(2.18

8、)因?yàn)?,而,所以,,方程(2.18)為.(2.19)先求(2.19)的降階方程(2.20)的特解.因,將該方程兩邊對(duì)求導(dǎo)一次并刪除導(dǎo)數(shù)階數(shù)高于1的項(xiàng)(導(dǎo)數(shù)階數(shù)高于的項(xiàng)為零),得.以代入(2.20),得,積分得方程(2.18)的特解為.再由推論2.1得原方程的特解為.由于該題中的非齊次項(xiàng)是