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1、姓名年級性別課題對勾函數(shù)教學(xué)目的了解對勾函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖像教學(xué)重難點運用對勾函數(shù)的性質(zhì)和圖像解決實際問題。教學(xué)過程(內(nèi)容可附后)學(xué)大教育個性化教學(xué)學(xué)案對勾函數(shù):數(shù)學(xué)中一種常見而又特殊的函數(shù)。如圖一、對勾函數(shù)f(x)=ax+的圖象與性質(zhì)對勾函數(shù)是數(shù)學(xué)中一種常見而又特殊的函數(shù)。它在高中教材上不出現(xiàn),但考試總喜歡考的函數(shù),所以也要注意它和了解它。(一)對勾函數(shù)的圖像對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般函數(shù),形如f(x)=ax+(接下來寫作f(x)=ax+b/x)。當a≠0,b≠0時,f(x)=ax+b/x是正比例函數(shù)f(x)=ax與反比例函數(shù)f(x)=b/x“疊加”而
2、成的函數(shù)。這個觀點,對于理解它的性質(zhì),繪制它的圖象,非常重要。當a,b同號時,f(x)=ax+b/x的圖象是由直線y=ax與雙曲線y=b/x構(gòu)成,形狀酷似雙勾。故稱“對勾函數(shù)”,也稱“勾勾函數(shù)”、“海鷗函數(shù)”。如下圖所示:a>0b>0a<0b<0對勾函數(shù)的圖像(ab同號)當a,b異號時,f(x)=ax+b/x的圖象發(fā)生了質(zhì)的變化。但是,我們依然可以看作是兩個函數(shù)“疊加”而成。(請自己在圖上完成:他是如何疊加而成的。)對勾函數(shù)的圖像(ab異號)一般地,我們認為對勾函數(shù)是反比例函數(shù)的一個延伸,即對勾函數(shù)也是雙曲線的一種,只不過它的焦點和漸進線的位置有所改變罷了。接下來,
3、為了研究方便,我們規(guī)定a>0,b>0。之后當a<0,b<0時,根據(jù)對稱就很容易得出結(jié)論了。(一)對勾函數(shù)的頂點對勾函數(shù)性質(zhì)的研究離不開均值不等式。利用均值不等式可以得到:當x>0時,。當x<0時,。即對勾函數(shù)的定點坐標:(一)對勾函數(shù)的定義域、值域由(二)得到了對勾函數(shù)的頂點坐標,從而我們也就確定了對勾函數(shù)的定義域、值域等性質(zhì)。yXOy=ax(二)對勾函數(shù)的單調(diào)性(三)對勾函數(shù)的漸進線由圖像我們不難得到:(四)對勾函數(shù)的奇偶性:對勾函數(shù)在定義域內(nèi)是奇函數(shù)二、類耐克函數(shù)性質(zhì)探討函數(shù),在為簡單的單調(diào)函數(shù),不予討論。在有如下幾種情況:(1)(2)(3)(4)設(shè),,則,其定
4、義域為(1)時,,在上分別單調(diào)遞增。故在為單調(diào)遞增函數(shù)。(2)時,,在上分別單調(diào)遞減。故在為單調(diào)遞減函數(shù)(3)圖像略當時,,。當且僅當,即取等號。當時,,當且僅當,即(因為,故舍掉)取等號。4)當時,,。當且僅當,即取等號。當時,,當且僅當,即取等號。三、關(guān)于求函數(shù)最小值的十種解法1.均值不等式,,當且僅當,即的時候不等式取到“=”。當?shù)臅r候,2.法若的最小值存在,則必需存在,即或(舍)找到使時,存在相應(yīng)的即可。通過觀察當?shù)臅r候,3.單調(diào)性定義設(shè)當對于任意的,只有時,,此時單調(diào)遞增;當對于任意的,只有時,,此時單調(diào)遞減。當取到最小值,4.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在單調(diào)遞增,
5、在單調(diào)遞減;在單調(diào)遞增又原函數(shù)在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增即當取到最小值,5.求一階導(dǎo)當時,,函數(shù)單調(diào)遞減;當時,,函數(shù)單調(diào)遞增。當取到最小值,6.三角代換令,,則當,即時,,,顯然此時7.向量,根據(jù)圖象,為起點在原點,終點在圖象上的一個向量,的幾何意義為在上的投影,顯然當時,取得最小值。此時,,8.圖象相減,即表示函數(shù)和兩者之間的距離求,即為求兩曲線豎直距離的最小值平移直線,顯然當與相切時,兩曲線豎直距離最小。關(guān)于直線軸對稱,若與在處有一交點,根據(jù)對稱性,在處也必有一個交點,即此時與相交。顯然不是距離最小的情況。所以,切點一定為點。此時,,9.平面幾何依據(jù)直角三角形
6、射影定理,設(shè),則顯然,為菱形的一條邊,只用當,即為直線和之間的距離時,取得最小值。即四邊形為矩形。此時,,即,10.對應(yīng)法則設(shè),,對應(yīng)法則也相同左邊的最小值右邊的最小值(舍)或當,即時取到最小值,且練習(xí):1.若x>1.求的最小值2.若x>1.求的最小值3.若x>1.求的最小值4.若x>0.求的最小值5.已知函數(shù)(1)求(2)若對任意x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a范圍6.:方程sin2x-asinx+4=0在[0,]內(nèi)有解,則a的取值范圍是__________7.函數(shù)的最小值為____________;函數(shù)的最大值為_________。8.函數(shù)的最大值為。
7、9、若,則的最值是。10.函數(shù)的最小值是。11.若不等式在上恒成立,則的取值范圍是。12.求函數(shù)的最值。13.14.