維向量空間及向量組的線性表出課件.ppt

維向量空間及向量組的線性表出課件.ppt

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1、幾何空間(三唯向量空間)(第三章)推廣n唯向量空間(第四章)推廣線性空間(第七章)4.1n維向量空間一、三維向量空間三、Rn的子空間返回二、n維向量空間一、三維向量空間(幾何空間)并定義向量的線性運算如下:加法:數(shù)乘:k??=(ka1,ka2,ka3).(ai為實數(shù))設(shè)按上述方式定義的線性運算,滿足八條運算規(guī)律:(1)?+?=?+?;(2)(?+?)+?=?+(?+?);(3)?+O=?;(4)?+(-?)=O;(5)1?=?;(6)k(l?)=(kl)?;(7)k(?+?)=k?+k?;(8)(k+l)?=k?

2、+l?.由三維實向量的全體構(gòu)成的集合,按定義的加法和數(shù)乘滿足八條運算法則,則稱這個集合對規(guī)定的加法和數(shù)乘構(gòu)成一個三維向量空間(或幾何空間)。記為R3.確定飛機在空中的狀態(tài):飛機重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機身的水平轉(zhuǎn)角機身的仰角機翼的轉(zhuǎn)角所以,確定飛機的狀態(tài),需要6個參數(shù),可表示為實際問題:n維向量:n維行向量n維列向量:實(復(fù))向量:坐標為實(復(fù))數(shù)n—稱為向量的維數(shù)。——n個數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組。二、n維向量空間的概念向量相等的定義:?=(a1,a2,…,an),?=(b1,b2,…,bn)?=??ai=

3、bi零向量:?=(0,0,…,0)負向量:-?=(-a1,-a2,…,-an)Rn={(a1,a2,…,an)

4、ai?R}——n維實向量的全體.n維向量的線性運算:?=(a1,a2,…,an),?=(b1,b2,…,bn),?+?=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn),k??=(ka1,ka2,…,kan),k?R.加法:數(shù)乘:加法與數(shù)乘滿足下列八條運算規(guī)律:(1)?+?=?+?;(2)(?+?)+?=?+(?+?);(3)?+0=?;(4)?+(-?)=0;(8)(k+l)?=k?+l?.(7)k(?+?

5、)=k?+k?;(6)k(l?)=(kl)?;(5)1?=?;n維實向量的全體構(gòu)成的集合Rn,按定義的加法和數(shù)乘滿足八條運算法則,稱Rn對規(guī)定的加法和數(shù)乘構(gòu)成一個n維向量空間。一般地,若向量集合V,按定義的加法和數(shù)乘滿足八條運算法則,則稱V對規(guī)定的加法和數(shù)乘構(gòu)成一個向量空間。用向量的觀點看矩陣:1×n的行矩陣可以視為n維行向量;n×1的列矩陣可以視為n維列向量;用向量的觀點看線性方程組可寫成:即或——方程組的向量形式即其中稱為滿足方程的一個解向量。定義若則稱V是Rn的一個子空間.(此時稱V對加法封閉)由定義知:(

6、1)Rn的子空間本身也是一個向量空間?。?)子空間必含零元。二、Rn的子空間(此時稱V對數(shù)乘封閉)(V有零元是V為子空間的必要條件!)即若V沒有零元V不是子空間.V是Rn的一個子空間(即V對加法封閉)子空間的判別:(即V對數(shù)乘封閉).(即過坐標原點的直線是R2的子空間.)例1設(shè)V={(x,y)

7、x+y=0},V是否是R2的子空間?例2設(shè)V={(x,y)

8、x+y=1},V是否是R2的子空間?(不過坐標原點的直線不是R2的子空間.)例3過坐標原點的平面但是,不過坐標原點的平面不是R3的一個子空間; 不過坐標原點的空間

9、直線不是R3的一個子空間.為R3的一個子空間;例4過坐標原點的空間直線.為R3的一個子空間因為,它們不含零元0=(0,0,0).4.2向量組的線性相關(guān)性一、向量組的線性組合二、向量組的線性相關(guān)性返回三、線性相關(guān)性與線性組合(表出)的關(guān)系向量組:同維數(shù)的向量所組成的集合.例如:該向量組向量的維數(shù)是3,向量組所含向量個數(shù)為4.即該向量組由4個3維的向量組成.又如:------所含向量個數(shù)為1.------含無窮多個向量.向量組與矩陣的關(guān)系:例如向量組稱為矩陣A的列向量組。向量組,,…, 稱為矩陣A的行向量組.反之,由

10、有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣.線性方程組:即:即——方程組的向量形式存在一組數(shù)x1,x2,…,xn使得故非齊次線性組(*)式有解線性表出一、向量組的線性組合(線性表出)定義若存在一組數(shù)k1,k2,…,km使得或稱向量?為向量組?1,?2,…,?m的線性組合,例1零向量是任一向量組的線性組合.則稱向量?可由向量組?1,?2,…,?m線性表出.例2向量組?1,?2,…,?m中任一向量都可由這個向量組線性表出.例3設(shè)為n維向量組,證明:是的一個子空間。又LL(?1,?2,…,?m)={?1,?2,…,?m線

11、性組合的全體}.L(L對加法封閉)證明:為常數(shù),其中L所以L是的一個子空間。稱L(?1,?2,…,?m)是由?1,?2,…,?m所生成的子空間.(L對數(shù)乘封閉)例如:例4反之有有三唯向量空間是由三個基向量所生成的.亦即,任一n維向量均可由線性表出.——n唯基本單位向量組設(shè)則選擇題:(A)存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km使得若向量?可由向量組?1,?2,…,?m,線

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