《向量組-向量空間》PPT課件.ppt

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1、有非零解時(shí)，齊次線性方程組有基礎(chǔ)解系，齊次線性方程組的解的線性組合仍是方程組的解——解向量組的最大無關(guān)組含n-R(A)個(gè)解向量有非零解時(shí)，齊次線性方程組的解向量組的秩為n-R(A)齊次線性方程組的解向量組是向量空間——解向量空間非齊次線性方程組的解向量組不構(gòu)成向量空間——其秩為n-R(A)+1有無窮多解時(shí)，非齊次線性方程組的通解=導(dǎo)出組的通解+本身的一個(gè)特解解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)求方程組的通解P110.30線性無關(guān)解方程組未知數(shù)個(gè)數(shù)=系數(shù)矩陣列數(shù)=4，系數(shù)矩陣的秩=3導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系含向量個(gè)數(shù)=4－3=1導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系？方程組的一個(gè)特解？常數(shù)項(xiàng)列向量可由未知數(shù)的系數(shù)列向量組線性表示方

2、程組有解增廣矩陣的列向量組線性相關(guān)增廣矩陣與系數(shù)矩陣的列向量組等價(jià)系數(shù)矩陣的列向量組線性無關(guān)，有無窮多解系數(shù)矩陣、增廣矩陣的列向量組線性相關(guān)有唯一解齊次線性方程組只有零解齊次線性方程組有非零解系數(shù)矩陣的列向量組線性無關(guān)系數(shù)矩陣的列向量組線性相關(guān)有解性與向量組性質(zhì)兩個(gè)方程組等價(jià)（同解）同解方程組性質(zhì)方程組有無窮多解導(dǎo)出組有非零解反之？不一定！導(dǎo)出組只有零解方程組有唯一解？不一定！P.11032:只需證它滿足方程Ax=b證只要是方程組的解，就考慮左乘A的結(jié)果證兩端同左乘An:兩端同左乘An-1:可得Th3(2)矛盾同理?n+1個(gè)n維向量線性表示,線性表示若m=s，則K為方陣表示

3、系數(shù)為列！表示系數(shù)為行！則：時(shí)矩陣A~BA的列組與B的列組等價(jià).但A~B不能保證A與B的行向量組或列向量組等價(jià)反之不一定！思考！但保證A與B的行（列）向量組有相同的秩，有相同的線性相關(guān)性C的列向量組可由A的列向量組線性表示，系數(shù)矩陣就是BC的行向量組可由B的行向量組線性表示，系數(shù)矩陣就是A矩陣乘法向量組用向量組表示證若R(A)=n,則A可逆若R(A)=n–1,又∵R(A)=n–1，∴A至少有一個(gè)（n-1)階的代數(shù)余子式≠0若R(A)

4、關(guān)組---秩向量空間---向量組？V時(shí)向量空間——向量組V對(duì)線性運(yùn)算封閉由向量生成的向量空間任意有限個(gè)向量都可生成空間V的最大無關(guān)組3.向量空間的基與維數(shù)基.∵任意n+1個(gè)n維向量是線性相關(guān)的向量空間的維數(shù)≤其向量的維數(shù)并稱V為r維向量空間.=V的秩向量空間的基不唯一，但其任兩個(gè)基都等價(jià).基中所含向量個(gè)數(shù)r稱為向量空間的維數(shù).定義7（p104）向量空間V的維數(shù)≤V中向量的個(gè)數(shù)零空間沒有基，其維數(shù)是0向量組——最大無關(guān)組----秩向量空間—基---維數(shù)向量空間V的基為展現(xiàn)了V的構(gòu)造向量空間可由其基生成向量組不一定是向量空間。向量組是向量空間時(shí)，向量組的最大無關(guān)組是向量空間的基

5、，向量組的秩是向量空間的維數(shù)。n維向量空間例如事實(shí)上,任意n個(gè)線性無關(guān)的n維向量都是Rn的基.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系就是解空間的基，解空間的維數(shù)是n-r.解空間表示為:表示惟一如何確定？解方程組事實(shí)上,任意n-1個(gè)只要線性無關(guān)，就是的一個(gè)基空間的維數(shù)與空間中向量的維數(shù)不同的例稱為該x的坐標(biāo)定義8(p105)設(shè)注（1）向量在一組確定的基下的坐標(biāo)是惟一的.（2）向量在一組基下的坐標(biāo)如何求？坐標(biāo)。4.向量在基下的坐標(biāo)(為什么?)（解方程組）向量在基下的坐標(biāo)是向量用基線性表示的系數(shù)組特別地，在維向量空間中取單位坐標(biāo)向量為基,向量的分量就是該向量在基中的坐標(biāo).中的自然基或標(biāo)準(zhǔn)基.向

6、量組在一組基下的坐標(biāo)矩陣如何求？向量組用一組基表示的系數(shù)矩陣稱為這個(gè)向量組在該基下的坐標(biāo)矩陣?！饩仃嚪匠?例6(P.105例24)寫出：用最大無關(guān)組以外向量用最大無關(guān)組表示的方法~?解Xn維空間中向量的坐標(biāo)為n元有序數(shù)組列表示陣舊基用新基表示的系數(shù)矩陣5、過渡矩陣向量在不同基下的坐標(biāo)也不同（3）向量空間的基不惟一,向量在不同基下的坐標(biāo)之間的關(guān)系——坐標(biāo)變換——以三維向量空間為例.例7(P.106例25)——的一個(gè)基（舊基）——的另一個(gè)基（新基）記記求：（1）用表示的表示式——基變換公式（2）向量在兩個(gè)基中的坐標(biāo)之間的關(guān)系——坐標(biāo)變換公式解(1)都可由三維單位坐標(biāo)向量組表

7、示新基用舊基表示的系數(shù)矩陣從舊基到新基的過渡矩陣從新基到舊基的過渡矩陣？解(2)x在舊基和新基下的坐標(biāo)分別為即故有即新坐標(biāo)用舊坐標(biāo)表示形式從舊坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式左乘過渡矩陣的逆舊坐標(biāo)用新坐標(biāo)表示形式？從新坐標(biāo)到舊坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式左乘過渡矩陣一般的，設(shè)是向量空間的兩個(gè)基，稱用線性表示的系數(shù)矩陣P為由基到基的過渡矩陣.即到的過渡矩陣過渡矩陣可逆！從舊坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式從新坐標(biāo)到舊坐標(biāo)的坐標(biāo)變換公式一般的，設(shè)是向量空間的兩個(gè)基，稱用線性表示的系數(shù)矩陣P為由基到基的過渡矩陣.即到的過渡矩陣記基A到基B的過