向量組-向量空間

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1、有非零解時，齊次線性方程組有基礎(chǔ)解系，齊次線性方程組的解的線性組合仍是方程組的解——解向量組的最大無關(guān)組含n-R(A)個解向量有非零解時，齊次線性方程組的解向量組的秩為n-R(A)齊次線性方程組的解向量組是向量空間——解向量空間非齊次線性方程組的解向量組不構(gòu)成向量空間——其秩為n-R(A)+1有無窮多解時，非齊次線性方程組的通解=導(dǎo)出組的通解+本身的一個特解解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)求方程組的通解P110.30線性無關(guān)解方程組未知數(shù)個數(shù)=系數(shù)矩陣列數(shù)=4，系數(shù)矩陣的秩=3導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系含向量個數(shù)=4－3=1導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系？方程組的一個特

2、解？常數(shù)項列向量可由未知數(shù)的系數(shù)列向量組線性表示方程組有解增廣矩陣的列向量組線性相關(guān)增廣矩陣與系數(shù)矩陣的列向量組等價系數(shù)矩陣的列向量組線性無關(guān)，有無窮多解系數(shù)矩陣、增廣矩陣的列向量組線性相關(guān)有唯一解齊次線性方程組只有零解齊次線性方程組有非零解系數(shù)矩陣的列向量組線性無關(guān)系數(shù)矩陣的列向量組線性相關(guān)有解性與向量組性質(zhì)兩個方程組等價（同解）同解方程組性質(zhì)方程組有無窮多解導(dǎo)出組有非零解反之？不一定！導(dǎo)出組只有零解方程組有唯一解？不一定！P.11032:只需證它滿足方程Ax=b證只要是方程組的解，就考慮左乘A的結(jié)果證兩端同左乘An:兩端

3、同左乘An-1:可得Th3(2)矛盾同理?n+1個n維向量線性表示,線性表示若m=s，則K為方陣表示系數(shù)為列！表示系數(shù)為行！則：時矩陣A~BA的列組與B的列組等價.但A~B不能保證A與B的行向量組或列向量組等價反之不一定！思考！但保證A與B的行（列）向量組有相同的秩，有相同的線性相關(guān)性C的列向量組可由A的列向量組線性表示，系數(shù)矩陣就是BC的行向量組可由B的行向量組線性表示，系數(shù)矩陣就是A矩陣乘法向量組用向量組表示證若R(A)=n,則A可逆若R(A)=n–1,又∵R(A)=n–1，∴A至少有一個（n-1)階的代數(shù)余子式≠0若R

4、(A)

5、空間沒有基，其維數(shù)是0向量組——最大無關(guān)組----秩向量空間—基---維數(shù)向量空間V的基為展現(xiàn)了V的構(gòu)造向量空間可由其基生成向量組不一定是向量空間。向量組是向量空間時，向量組的最大無關(guān)組是向量空間的基，向量組的秩是向量空間的維數(shù)。n維向量空間例如事實上,任意n個線性無關(guān)的n維向量都是Rn的基.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系就是解空間的基，解空間的維數(shù)是n-r.解空間表示為:表示惟一如何確定？解方程組事實上,任意n-1個只要線性無關(guān)，就是的一個基空間的維數(shù)與空間中向量的維數(shù)不同的例稱為該x的坐標定義8(p105)設(shè)注（1）向量在一組

6、確定的基下的坐標是惟一的.（2）向量在一組基下的坐標如何求？坐標。4.向量在基下的坐標(為什么?)（解方程組）向量在基下的坐標是向量用基線性表示的系數(shù)組特別地，在維向量空間中取單位坐標向量為基,向量的分量就是該向量在基中的坐標.中的自然基或標準基.向量組在一組基下的坐標矩陣如何求？向量組用一組基表示的系數(shù)矩陣稱為這個向量組在該基下的坐標矩陣?！饩仃嚪匠?例6(P.105例24)寫出：用最大無關(guān)組以外向量用最大無關(guān)組表示的方法~?解Xn維空間中向量的坐標為n元有序數(shù)組列表示陣舊基用新基表示的系數(shù)矩陣5、過渡矩陣向量在不同基

7、下的坐標也不同（3）向量空間的基不惟一,向量在不同基下的坐標之間的關(guān)系——坐標變換——以三維向量空間為例.例7(P.106例25)——的一個基（舊基）——的另一個基（新基）記記求：（1）用表示的表示式——基變換公式（2）向量在兩個基中的坐標之間的關(guān)系——坐標變換公式解(1)都可由三維單位坐標向量組表示新基用舊基表示的系數(shù)矩陣從舊基到新基的過渡矩陣從新基到舊基的過渡矩陣？解(2)x在舊基和新基下的坐標分別為即故有即新坐標用舊坐標表示形式從舊坐標到新坐標的坐標變換公式左乘過渡矩陣的逆舊坐標用新坐標表示形式？從新坐標到舊坐標的坐標

8、變換公式左乘過渡矩陣一般的，設(shè)是向量空間的兩個基，稱用線性表示的系數(shù)矩陣P為由基到基的過渡矩陣.即到的過渡矩陣過渡矩陣可逆！從舊坐標到新坐標的坐標變換公式從新坐標到舊坐標的坐標變換公式一般的，設(shè)是向量空間的兩個基，稱用線性表示的系數(shù)矩陣P為由基到基的過渡矩陣.即到的過渡矩陣記基A到基B的過