分?jǐn)?shù)傅里葉變換.doc

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1、分?jǐn)?shù)傅里葉定義：分?jǐn)?shù)傅里葉變換分?jǐn)?shù)傅里葉變換的物理意義即做傅里葉變換次，其中不一定要為整數(shù)（比傅里葉變換更加廣泛）；通過分?jǐn)?shù)傅里葉變換之后，圖像或信號(hào)便會(huì)同時(shí)擁有時(shí)域與頻域兩者的特征。1.1（維基百科）第一種定義:第二種定義：1.2從數(shù)學(xué)上分?jǐn)?shù)傅立葉變換定義了積分形式：Wigner分布函數(shù)相空間定義的分?jǐn)?shù)傅立葉變換A.W.Lohmann在1993年利用傅里葉變換相當(dāng)于在Wigner分布函數(shù)相空間中角度為π/2的旋轉(zhuǎn)這一性質(zhì)，說明分?jǐn)?shù)傅里葉變換在旋轉(zhuǎn)，這里，p是分?jǐn)?shù)傅里葉變換的級(jí)次。Wigner分布函數(shù)空間中相當(dāng)

2、于角度是pπ/2的分?jǐn)?shù)傅里葉變換的定義在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。當(dāng)分?jǐn)?shù)傅里葉變換的冪次p從0連續(xù)增長到達(dá)1時(shí)，分?jǐn)?shù)傅里葉變換的結(jié)果相應(yīng)地從原始信號(hào)的純時(shí)間（空間）形式開始逐漸變化成為它的純頻域（譜）形式，冪次p在0到1之間的任何時(shí)刻對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)傅里葉變換采取了介乎于時(shí)（空）域和頻域之間的一個(gè)過渡域的形式，形成一個(gè)既包含時(shí)（空）域信息同時(shí)也包含頻（譜）域信息的混合信號(hào)。因此，這樣定義的分?jǐn)?shù)傅里葉變換確實(shí)是一種時(shí)（空）-頻描述和分析工具分?jǐn)?shù)傅里葉的分類：1.一維分?jǐn)?shù)傅里葉變換分?jǐn)?shù)傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式有積分形式和級(jí)數(shù)表達(dá)式兩種

3、等價(jià)形式,1.積分形式2級(jí)數(shù)表達(dá)式形式其中2.二維分?jǐn)?shù)傅里葉變換其中C為相應(yīng)常系數(shù)。當(dāng)a=b時(shí),上式就是二維分?jǐn)?shù)傅里葉變換的表達(dá)式;當(dāng)a=b=1時(shí),上式轉(zhuǎn)化為常規(guī)二維傅里葉變換;當(dāng)a與b不相等時(shí),我們稱這種情況的二維分?jǐn)?shù)傅里葉變換為不對(duì)稱分?jǐn)?shù)傅里葉變換。此時(shí)在x、y方向?qū)嵤┑淖儞Q級(jí)次是不同的。分?jǐn)?shù)傅里葉變換的性質(zhì)1周期性：（k為整數(shù)）2線性：（c1和c2是復(fù)常數(shù)）4尺度變換特性：5時(shí)移特性：6頻移特性：7可逆性：對(duì)一個(gè)函數(shù)進(jìn)行P級(jí)分?jǐn)?shù)傅里葉變換后，接著進(jìn)行－P級(jí)的分?jǐn)?shù)傅里葉變換，則可得到原函數(shù):分?jǐn)?shù)傅里葉變換的數(shù)

4、值算法(1)基于傅立葉變換矩陣因子冪的離散化算法，利來3階數(shù)可加性：計(jì)算離散的分?jǐn)?shù)傅立葉變換的核矩陣，從而利用FFT來計(jì)算離散分?jǐn)?shù)傅立葉。其中W是離散傅立葉變換核矩陣(2)基于正交投影的離散化算法，對(duì)連續(xù)分?jǐn)?shù)傅立葉變換的特征函數(shù)進(jìn)行離散化近似和正交投影，得到一組與Hermite-Gaussian函數(shù)形狀相似的離散傅立葉變換矩陣的正交化離散Hermite特征向量。然后，(3)仿照連續(xù)分?jǐn)?shù)傅立葉變換的核函數(shù)譜分解表達(dá)式，構(gòu)造了離散分?jǐn)?shù)傅立葉變換矩陣。(2)基于chirp分解的離散化算法。根據(jù)分?jǐn)?shù)傅立葉變換的表達(dá)式，將

5、分?jǐn)?shù)傅立葉變換分解為信號(hào)的卷積形式后，直接離散化，利用FFT來計(jì)算分?jǐn)?shù)傅立葉變換。2.2.1基于傅立葉變換矩陣對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)傅里葉函數(shù)：1)輸入信號(hào)f(x)與啁啾信號(hào)相乘(j將兩個(gè)信號(hào)分別離散化)；2)進(jìn)行FT運(yùn)算；3)進(jìn)行尺度變換,系數(shù)為cscφ；4)再與啁啾信號(hào)相乘；5)最后與常數(shù)位相相乘。2基于正交投影的離散化算法(Disfrft.m和cdpei.m)其計(jì)算過程如下：1基于chirp分解的離散化算法（FRFT.m和frft22d.m）基于正交投影的離散化算法對(duì)連續(xù)分?jǐn)?shù)傅立葉變換的特征函數(shù)進(jìn)行離散化近似和正交投影

6、，得到一組與Hermite-Gaussian函數(shù)形狀相似的離散傅立葉變換矩陣的正交化離散Hermite特征向量。然后，仿照連續(xù)分?jǐn)?shù)傅立葉變換的核函數(shù)譜分解表達(dá)式，構(gòu)造了離散分?jǐn)?shù)傅立葉變換矩陣。此算法適合用來計(jì)算連續(xù)的分?jǐn)?shù)傅里葉變換?；赾hirp分解的離散化算法，將分?jǐn)?shù)傅立葉變換分解為信號(hào)的卷積形式后，直接離散化，利用FFT來計(jì)算分?jǐn)?shù)傅立葉變換。圖像的分?jǐn)?shù)傅里葉變換對(duì)圖像進(jìn)行分?jǐn)?shù)傅里葉變換分析的目的是確定圖像經(jīng)過分?jǐn)?shù)傅里葉變換后的特性表現(xiàn)，主要包含分?jǐn)?shù)傅里葉變換對(duì)圖像能量分布和頻率分布影響兩方面的內(nèi)容。其中能量分

7、布表現(xiàn)分?jǐn)?shù)傅里葉變換圖像的能量聚積性與分?jǐn)?shù)變換階數(shù)的關(guān)系，能量聚集性強(qiáng)烈地依賴于其接近于傅里葉變換的程度；頻率分布表現(xiàn)在分?jǐn)?shù)傅里葉變換的相位函數(shù)包含了圖像的紋理頻率信息，變換階數(shù)不同，相位函數(shù)所含的圖像邊緣高頻信息也不相同。圖像經(jīng)過某種二維離散變換之后的能量分布體現(xiàn)了圖像的變換特征。圖像分?jǐn)?shù)傅里葉變換域的能量分布特點(diǎn)是：能量向中心區(qū)域聚集性。(1)當(dāng)分?jǐn)?shù)階次p由小變大時(shí)，由相位函數(shù)恢復(fù)的圖像呈現(xiàn)出圖像邊緣輪廓變得越來越清晰，這類似于原始圖像經(jīng)歷了不同截止頻率的高通濾波器。當(dāng)p較小時(shí)對(duì)應(yīng)于截止頻率較低的高通濾波器，

8、低頻成份浮現(xiàn)出來，圖像邊緣模糊；當(dāng)p較大時(shí)，對(duì)應(yīng)于截止頻率較高的高通濾波器，大部分低頻成份被濾掉，圖像邊緣比較清晰，F(xiàn)RFT逐漸向FT退化。(2)當(dāng)變換階數(shù)p由小變大時(shí)，僅由幅度函數(shù)恢復(fù)的圖像越來越接近原圖像的背景，這類似于原圖像經(jīng)歷了不同截止頻率的低通濾波器。p較小時(shí)，對(duì)應(yīng)于截止頻率較高的低通濾波器，高頻分量殘留較多，能清晰看到原圖像的輪廓；p較大時(shí)，對(duì)應(yīng)于截止頻率較低