分數(shù)傅里葉變換.doc

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1、分數(shù)傅里葉定義：分數(shù)傅里葉變換分數(shù)傅里葉變換的物理意義即做傅里葉變換次，其中不一定要為整數(shù)（比傅里葉變換更加廣泛）；通過分數(shù)傅里葉變換之后，圖像或信號便會同時擁有時域與頻域兩者的特征。1.1（維基百科）第一種定義:第二種定義：1.2從數(shù)學上分數(shù)傅立葉變換定義了積分形式：Wigner分布函數(shù)相空間定義的分數(shù)傅立葉變換A.W.Lohmann在1993年利用傅里葉變換相當于在Wigner分布函數(shù)相空間中角度為π/2的旋轉(zhuǎn)這一性質(zhì)，說明分數(shù)傅里葉變換在旋轉(zhuǎn)，這里，p是分數(shù)傅里葉變換的級次。Wigner分布函數(shù)空間中相當

2、于角度是pπ/2的分數(shù)傅里葉變換的定義在數(shù)學上是等價的。當分數(shù)傅里葉變換的冪次p從0連續(xù)增長到達1時，分數(shù)傅里葉變換的結(jié)果相應(yīng)地從原始信號的純時間（空間）形式開始逐漸變化成為它的純頻域（譜）形式，冪次p在0到1之間的任何時刻對應(yīng)的分數(shù)傅里葉變換采取了介乎于時（空）域和頻域之間的一個過渡域的形式，形成一個既包含時（空）域信息同時也包含頻（譜）域信息的混合信號。因此，這樣定義的分數(shù)傅里葉變換確實是一種時（空）-頻描述和分析工具分數(shù)傅里葉的分類：1.一維分數(shù)傅里葉變換分數(shù)傅里葉變換的數(shù)學表達式有積分形式和級數(shù)表達式兩種

3、等價形式,1.積分形式2級數(shù)表達式形式其中2.二維分數(shù)傅里葉變換其中C為相應(yīng)常系數(shù)。當a=b時,上式就是二維分數(shù)傅里葉變換的表達式;當a=b=1時,上式轉(zhuǎn)化為常規(guī)二維傅里葉變換;當a與b不相等時,我們稱這種情況的二維分數(shù)傅里葉變換為不對稱分數(shù)傅里葉變換。此時在x、y方向?qū)嵤┑淖儞Q級次是不同的。分數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)1周期性：（k為整數(shù)）2線性：（c1和c2是復(fù)常數(shù)）4尺度變換特性：5時移特性：6頻移特性：7可逆性：對一個函數(shù)進行P級分數(shù)傅里葉變換后，接著進行－P級的分數(shù)傅里葉變換，則可得到原函數(shù):分數(shù)傅里葉變換的數(shù)

4、值算法(1)基于傅立葉變換矩陣因子冪的離散化算法，利來3階數(shù)可加性：計算離散的分數(shù)傅立葉變換的核矩陣，從而利用FFT來計算離散分數(shù)傅立葉。其中W是離散傅立葉變換核矩陣(2)基于正交投影的離散化算法，對連續(xù)分數(shù)傅立葉變換的特征函數(shù)進行離散化近似和正交投影，得到一組與Hermite-Gaussian函數(shù)形狀相似的離散傅立葉變換矩陣的正交化離散Hermite特征向量。然后，(3)仿照連續(xù)分數(shù)傅立葉變換的核函數(shù)譜分解表達式，構(gòu)造了離散分數(shù)傅立葉變換矩陣。(2)基于chirp分解的離散化算法。根據(jù)分數(shù)傅立葉變換的表達式，將

5、分數(shù)傅立葉變換分解為信號的卷積形式后，直接離散化，利用FFT來計算分數(shù)傅立葉變換。2.2.1基于傅立葉變換矩陣對應(yīng)的分數(shù)傅里葉函數(shù)：1)輸入信號f(x)與啁啾信號相乘(j將兩個信號分別離散化)；2)進行FT運算；3)進行尺度變換,系數(shù)為cscφ；4)再與啁啾信號相乘；5)最后與常數(shù)位相相乘。2基于正交投影的離散化算法(Disfrft.m和cdpei.m)其計算過程如下：1基于chirp分解的離散化算法（FRFT.m和frft22d.m）基于正交投影的離散化算法對連續(xù)分數(shù)傅立葉變換的特征函數(shù)進行離散化近似和正交投影

6、，得到一組與Hermite-Gaussian函數(shù)形狀相似的離散傅立葉變換矩陣的正交化離散Hermite特征向量。然后，仿照連續(xù)分數(shù)傅立葉變換的核函數(shù)譜分解表達式，構(gòu)造了離散分數(shù)傅立葉變換矩陣。此算法適合用來計算連續(xù)的分數(shù)傅里葉變換。基于chirp分解的離散化算法，將分數(shù)傅立葉變換分解為信號的卷積形式后，直接離散化，利用FFT來計算分數(shù)傅立葉變換。圖像的分數(shù)傅里葉變換對圖像進行分數(shù)傅里葉變換分析的目的是確定圖像經(jīng)過分數(shù)傅里葉變換后的特性表現(xiàn)，主要包含分數(shù)傅里葉變換對圖像能量分布和頻率分布影響兩方面的內(nèi)容。其中能量分

7、布表現(xiàn)分數(shù)傅里葉變換圖像的能量聚積性與分數(shù)變換階數(shù)的關(guān)系，能量聚集性強烈地依賴于其接近于傅里葉變換的程度；頻率分布表現(xiàn)在分數(shù)傅里葉變換的相位函數(shù)包含了圖像的紋理頻率信息，變換階數(shù)不同，相位函數(shù)所含的圖像邊緣高頻信息也不相同。圖像經(jīng)過某種二維離散變換之后的能量分布體現(xiàn)了圖像的變換特征。圖像分數(shù)傅里葉變換域的能量分布特點是：能量向中心區(qū)域聚集性。(1)當分數(shù)階次p由小變大時，由相位函數(shù)恢復(fù)的圖像呈現(xiàn)出圖像邊緣輪廓變得越來越清晰，這類似于原始圖像經(jīng)歷了不同截止頻率的高通濾波器。當p較小時對應(yīng)于截止頻率較低的高通濾波器，

8、低頻成份浮現(xiàn)出來，圖像邊緣模糊；當p較大時，對應(yīng)于截止頻率較高的高通濾波器，大部分低頻成份被濾掉，圖像邊緣比較清晰，F(xiàn)RFT逐漸向FT退化。(2)當變換階數(shù)p由小變大時，僅由幅度函數(shù)恢復(fù)的圖像越來越接近原圖像的背景，這類似于原圖像經(jīng)歷了不同截止頻率的低通濾波器。p較小時，對應(yīng)于截止頻率較高的低通濾波器，高頻分量殘留較多，能清晰看到原圖像的輪廓；p較大時，對應(yīng)于截止頻率較低