圓錐曲線題常見錯解類型及剖析.doc

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1、圓錐曲線題常見錯解類型及剖析圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，每年的高考中都占有較大的比重。解析幾何解題中由于審題不嚴，考慮不周，忽視甚至挖掘不出題目的隱含條件，常會使解題感覺困難或產(chǎn)生錯誤。下面對圓錐曲線題常見錯解類型作剖析，以引起注意。一、概念不清例1已知圓，圓都內(nèi)切于動圓，試求動圓圓心的軌跡方程。錯解：圓C2：，即為而圓C1：的圓心為C1（0，0），半徑設(shè)所求動圓圓心M的坐標為（x,y），圓的半徑為r，則且所以，即化簡得。即為所求動圓圓心的軌跡方程。剖析：上述解法將，誤認為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這與題意不符。事實上，表示動點M到定點的距離差為常數(shù)3且

2、，點M的軌跡為雙曲線右支，方程為：二、盲目運用圓錐曲線定義致錯例2、雙曲線上的點P到點(5,0)的距離為8.5，則點P到點()的距離_______。錯解：設(shè)雙曲線的兩個焦點分別為,由雙曲線定義知所以，故點P到點()的距離為16.5或0.5.剖析：由題意知，雙曲線左支上的點到左焦點的最短距離為1,所以不合題意，事實上，在求解此類問題時，應(yīng)靈活運用雙曲線定義，分析出點P的存在情況，然后再求解。如本題中，因左頂點到右焦點的距離為9>8.5，故點P只能在右支上，所求。三、以點帶面，導(dǎo)致錯誤例3、過點(0,1)作直線，使它與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有（　）

3、A.1條B.2條C.3條D.0條錯解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，即：，由Δ＝0,得k=1,故答案為A.剖析：以點帶面是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完善，不能給出問題的全部答案，從而出現(xiàn)思維的不嚴謹性。本題的解法有兩個問題，一是將斜率不存在的情況考慮漏掉了，另外又將斜率k=0的情形丟掉了，故本題應(yīng)有三解，即直線有三條。正確答案為C。四、忽視隱含條件致錯例4、已知實數(shù)x，y滿足3x2+2y2=6x，則x2+y2的最大值是()A、B、4C、5D、2錯解：由3x2+2y2=6x得，故x2+y2=，選A。剖析：由于x，y相互制約，忽視了條件中x的取值范圍

4、而導(dǎo)致出錯。正確答案為B，即由得，故x=2時，x2+y2的最大值是4。五、解題方法不當缺乏檢驗致錯例5、已知雙曲線,問過點A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。錯解：設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)則（1）－（2）得因為A（1，1）為線段PQ的中點，所以將(4)、(5)代入（3）得顯然，則直線的斜率，所以符合題設(shè)條件的直線存在，其方程為。剖析：在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對所求直線進行檢驗，上述錯解沒有做到這

5、一點，故是錯誤的。應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由得根據(jù),從而知所求直線不存在。六、變形過程不等價致錯例6、若直線y=x+b與曲線恰有一個公共點,則有b的取值范圍是。yoxL1L2L3錯解：，即，直線y=x+b與圓恰有一個公共點剖析：將所作變形不是等價變形，擴大為圓研究，從而造成錯解。作圖易知，與半圓恰有一個交點的直線是圖中的L1與L2之間（含L1）的部分及圓的一條切線L3。故正確答案為：。七、忽視軌跡的純粹性、完備性致錯。例7、求與y軸相切于右側(cè)，并與⊙C：x2+y2-6x=0也相切的圓的圓心的軌跡方程。錯解圓C方程化為，設(shè)動圓圓心點P（x,y）（x>0）

6、，⊙P與y軸相切與點M，與⊙C相切與N點，所以

7、CP

8、=

9、PM

10、+3，即，化簡得軌跡方程為：剖析本題解法只考慮了所求軌跡的純粹性，即所求軌跡上的點都滿足條件，而沒有考慮所求軌跡的完備性，即滿足條件的點都在軌跡上。事實上，根據(jù)已知條件，滿足條件的還有軌跡y=0(x>0且x≠3)，正確的答案為：動圓圓心的軌跡為和y=0(x>0且x≠3)。練習鞏固：1、點P與定點F（2，0）的距離和它到直線x=8的距離比是1：3,求動點P與定點距離的最值。易錯原因：由橢圓性質(zhì)知，橢圓上點的橫縱坐標都是有限制的，解題易忽視這一取值范圍，正確答案：當時，。2、已知點M（－2，0）

11、，N（2，0），動點P滿足條件

12、PM

13、－

14、PN

15、=，記動點P的軌跡為W.（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求、的最小值.易錯原因：（Ⅰ）誤認為軌跡是以為焦點的雙曲線的兩支，正確答案：W的方程為（）。（Ⅱ）解法中易忽視了直線AB斜率不存在的情況，從而導(dǎo)致了無最小值的錯誤。正確答案：、的最小值為2.3、是否存在同時滿足下列條件的拋物線？若存在，求出方程；若不存在，試說明理由.(1)頂點在x軸上，以y軸為準線。(2)A(3,0)到此拋物線上動點P的距離的最小值是2。易錯原因：忽視了拋物線中x的取值范圍，因為點P是此拋物線上動點，所

16、以x≥a.正確答案為：所求拋物線方程有三個：y2=4(x－1)或y2=2(x－)