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《(20080626)高等代數(shù)專題研究期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)(文本).doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、（2008.06.26）高等代數(shù)專題研究期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)（文本）張進(jìn)軍：各位老師，同學(xué)，大家好。期末教學(xué)活動(dòng)開(kāi)始了，歡迎大家一起探討學(xué)習(xí)過(guò)程的問(wèn)題。關(guān)于期末考試本次期末考試從要求上說(shuō)，沒(méi)有變化。依然保持半開(kāi)卷形式。要求同學(xué)們注意復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)和熟練掌握基本技能。什么是高等代數(shù)各位老師和同學(xué)，我這里先找出一些資料，希望在同學(xué)們復(fù)習(xí)之間提高對(duì)這門(mén)課的了解。第一篇資料就是“什么是高等代數(shù)”：初等代數(shù)從最簡(jiǎn)單的一元一次方程開(kāi)始，一方面進(jìn)而討論二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可以轉(zhuǎn)化為二次的方程組。沿著這兩個(gè)方向
2、繼續(xù)發(fā)展，代數(shù)在討論任意多個(gè)未知數(shù)的一次方程組，也叫線型方程組的同時(shí)還研究次數(shù)更高的一元方程組。發(fā)展到這個(gè)階段，就叫做高等代數(shù)。高等代數(shù)是代數(shù)學(xué)發(fā)展到高級(jí)階段的總稱，它包括許多分支?，F(xiàn)在大學(xué)里開(kāi)設(shè)的高等代數(shù)，一般包括兩部分：線性代數(shù)初步、多項(xiàng)式代數(shù)。高等代數(shù)在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上研究對(duì)象進(jìn)一步的擴(kuò)充，引進(jìn)了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數(shù)相類似的運(yùn)算的特點(diǎn)，不過(guò)研究的方法和運(yùn)算的方法都更加繁復(fù)。集合是具有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數(shù)值還同時(shí)具有方向的
3、量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的并且符合某些特定運(yùn)算的規(guī)則的集合。向量空間中的運(yùn)算對(duì)象已經(jīng)不只是數(shù)，而是向量了，其運(yùn)算性質(zhì)也有很大的不同了。高等代數(shù)發(fā)展第一階段第二篇資料是“高代發(fā)展簡(jiǎn)史（一）”，內(nèi)容為：代數(shù)學(xué)的歷史告訴我們，在研究高次方程的求解問(wèn)題上，許多數(shù)學(xué)家走過(guò)了一段頗不平坦的路途，付出了艱辛的勞動(dòng)。人們很早就已經(jīng)知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。關(guān)于三次方程，我國(guó)在公元七世紀(jì)，也已經(jīng)得到了一般的近似解法，這在唐朝數(shù)學(xué)家王孝通所編的《緝古算經(jīng)》就有敘述。到了十三世紀(jì)，宋代數(shù)學(xué)家秦九韶在他
4、所著的《數(shù)書(shū)九章》這部書(shū)的“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”里，充分研究了數(shù)字高次方程的求正根的方法，也就是說(shuō)，秦九韶那時(shí)候以得到了高次方程的一般解法。在西方，直到十六世紀(jì)初的文藝復(fù)興時(shí)期，才由有意大利的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的公式——卡當(dāng)公式。在數(shù)學(xué)史上，相傳這個(gè)公式是意大利數(shù)學(xué)家塔塔里亞首先得到的,后來(lái)被米蘭地區(qū)的數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾(1501～1576)騙到了這個(gè)三次方程的解的公式，并發(fā)表在自己的著作里。所以現(xiàn)在人們還是叫這個(gè)公式為卡爾達(dá)諾公式(或稱卡當(dāng)公式)，其實(shí)，它應(yīng)該叫塔塔里亞公式。三次方程被解出來(lái)后，一般的四次方程很快就
5、被意大利的費(fèi)拉里(1522～1560)解出。這就很自然的促使數(shù)學(xué)家們繼續(xù)努力尋求五次及五次以上的高次方程的解法。遺憾的是這個(gè)問(wèn)題雖然耗費(fèi)了許多數(shù)學(xué)家的時(shí)間和精力，但一直持續(xù)了長(zhǎng)達(dá)三個(gè)多世紀(jì)，都沒(méi)有解決。到了十九世紀(jì)初，挪威的一位青年數(shù)學(xué)家阿貝爾(1802～1829)證明了五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解。即這些方程的根不能用方程的系數(shù)通過(guò)加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方這些代數(shù)運(yùn)算表示出來(lái)。阿貝爾的這個(gè)證明不但比較難，而且也沒(méi)有回答每一個(gè)具體的方程是否可以用代數(shù)方法求解的問(wèn)題。高等代數(shù)發(fā)展第二階段第三篇資料是“高等
6、代數(shù)簡(jiǎn)史（二）---五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解的被證明”，內(nèi)容是：五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解的問(wèn)題，由法國(guó)的一位青年數(shù)學(xué)家伽羅華徹底解決了。伽羅華20歲的時(shí)候，因?yàn)榉e極參加法國(guó)資產(chǎn)階級(jí)革命運(yùn)動(dòng)，曾兩次被捕入獄，1832年4月，他出獄不久，便在一次私人決斗中死去，年僅21歲。伽羅華在臨死前預(yù)料自己難以擺脫死亡的命運(yùn)，所以曾連夜給朋友寫(xiě)信，倉(cāng)促地把自己生平的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫(xiě)出，并附以論文手稿。他在給朋友舍瓦利葉的信中說(shuō)：“我在分析方面做出了一些新發(fā)現(xiàn)。有些是關(guān)于方程論的；有些是關(guān)于整函數(shù)的……。公
7、開(kāi)請(qǐng)求雅可比或高斯，不是對(duì)這些定理的正確性而是對(duì)這些定理的重要性發(fā)表意見(jiàn)。我希望將來(lái)有人發(fā)現(xiàn)消除所有這些混亂對(duì)它們是有益的?！辟ち_華死后，按照他的遺愿，舍瓦利葉把他的信發(fā)表在《百科評(píng)論》中。他的論文手稿過(guò)了14年，才由劉維爾(1809～1882)編輯出版了他的部分文章，并向數(shù)學(xué)界推薦。隨著時(shí)間的推移，伽羅華的研究成果的重要意義愈來(lái)愈為人們所認(rèn)識(shí)。伽羅華雖然十分年輕，但是他在數(shù)學(xué)史上做出的貢獻(xiàn)，不僅是解決了幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)一直沒(méi)有解決的高次方程的代數(shù)解的問(wèn)題，更重要的是他在解決這個(gè)問(wèn)題中提出了“群”的概念，并由此發(fā)展
8、了一整套關(guān)于群和域的理論，開(kāi)辟了代數(shù)學(xué)的一個(gè)嶄新的天地，直接影響了代數(shù)學(xué)研究方法的變革。從此，代數(shù)學(xué)不再以方程理論為中心內(nèi)容，而轉(zhuǎn)向?qū)Υ鷶?shù)結(jié)構(gòu)性質(zhì)的研究，促進(jìn)了代數(shù)學(xué)的進(jìn)一步的發(fā)展。在數(shù)學(xué)大師們的經(jīng)典著作中，伽羅華的論文是最薄的，但他的數(shù)學(xué)思想?yún)s是光輝奪目的。高等代數(shù)的基本內(nèi)容下面的資料是描述了高等代數(shù)研究的基本內(nèi)容：代數(shù)學(xué)從高等代數(shù)總的問(wèn)題出發(fā)，又發(fā)展成為包括許多獨(dú)立分支的一個(gè)大的數(shù)
