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《高等代數(shù)專題研究網(wǎng)上教學(xué)活動(dòng)文本》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、高等代數(shù)專題研究網(wǎng)上教學(xué)活動(dòng)文本（2004.12.14）瞿煒：老師們，同學(xué)們大家好！今天，我們進(jìn)行《高等代數(shù)專題研究》的期末復(fù)習(xí)和答疑，歡迎大家提問問：<高等代數(shù)>考題的題型和以前的考題的題型一樣嗎?瞿煒：考題的題型是一樣的，只是更注重概念的理解，大家應(yīng)多注意基本的東西，即基本概念，典型例題，不要搞太難的東西。瞿煒：復(fù)習(xí)重、難點(diǎn)第一章1.熟練掌握集合的定義及其表示方法，集合與元素、集合與集合的關(guān)系以及集合的運(yùn)算。2.理解映射的定義，映射相等和映射的主要性質(zhì)。熟練掌握映射的合成和求逆映射的方法。了解置換。3.了解代數(shù)運(yùn)算與代數(shù)體系的概念，以及代數(shù)運(yùn)算的結(jié)合律、交
2、換律和分配律等性質(zhì)。知道代數(shù)系統(tǒng)同態(tài)和同構(gòu)的概念。4.了解自然數(shù)的定義，掌握自然數(shù)的運(yùn)算。5.掌握各種歸納法及其應(yīng)用，主要是第一、第二歸納法第二章1.理解不等式的定義和主要性質(zhì)，熟練掌握常用解不等式和不等式的證明方法。2.掌握柯西不等式的應(yīng)用。3.理解凸函數(shù)的定義和性質(zhì)，掌握它的某些應(yīng)用。第三章1.了解環(huán)、交換環(huán)的定義，知道環(huán)的分類和子環(huán)定義。2.理解整環(huán)的概念，知道理想、可逆元素的定義。3.掌握素元素、不可約元素和相伴元素的定義及其區(qū)別。4.熟練掌握整系數(shù)多項(xiàng)式因式分解的方法。5.了解多項(xiàng)式的代數(shù)定義和分析定義的異同。6.知道代數(shù)基本定理，及相關(guān)結(jié)論。7.掌
3、握多項(xiàng)式零點(diǎn)的估計(jì)方法。8.了解重因式和單因式定義，掌握其判別法。第四章理解加法原理和乘法原理。熟練掌握初等排列和組合。2.掌握可重復(fù)排列與組合。了解排列組合模型，熟練掌握排列組合公式。3.理解篩法原理，掌握其初等證明方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。4.了解遞推公式原理、擾亂排列、積和式、母函數(shù)等的概念。5.知道抽屜原理的簡(jiǎn)單形式，會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用。瞿煒：吳老師好!下午好!你們的學(xué)生學(xué)習(xí)這門課的大約有多少?吳旗東：大約有二百人左右。吳旗東：做考試說明上的練習(xí)對(duì)考試有幫助嗎？瞿煒：有幫助，還可以參考網(wǎng)上的第一、二、三、四章的輔導(dǎo)吳旗東：期末復(fù)習(xí)時(shí)同學(xué)應(yīng)注意哪些問題.瞿煒：注重基本
4、概念的理解，即基本概念，典型例題，以往考過的一些基本東西，比如集映射的概念、個(gè)數(shù)自然數(shù)的定義、皮阿羅定理的含義等，不要搞太難的東西各章典型例題：第1章例1．寫出集合A={1，2，{3}}的冪集根據(jù)冪集所含元素的個(gè)數(shù)，知含有=8個(gè)元素。則={，{1},{2},{{3}},{1，2},{1，{3}},{2，{3}},{1，2，{3}}}例2．設(shè)集合A=｛1，2，3｝，B={a,b}，試寫出A到B的所有不同映射。不同映射的個(gè)數(shù)為個(gè)，分別為；；；；雙射（一一映射）：既滿且單的映射。如(n?Z)是一個(gè)從整數(shù)集Z到自然數(shù)集N的的單映射，但不是滿映射（1沒有對(duì)應(yīng)）．例43證
5、明(n?Z)是一個(gè)從整數(shù)集Z到自然數(shù)集N的的雙射．證明：任取n1，n2?Z，且n1≠n2，則f(n1)≠f(n2)，f(n)是單射;任取f(n)?N，若f(n)為奇數(shù)，則有n≥0,使f(n)=2n+1與之對(duì)應(yīng)；若f(n)為偶數(shù)，則有n<0，使f(n)=與之對(duì)應(yīng)。所以f(n)是滿射所以f(n)是從Z到N的雙射例54求(1)s－1；(2)st．解：(1)(2)st==例5．設(shè)R是實(shí)數(shù)集，對(duì)R中的任何兩個(gè)元素a和b，規(guī)定：其中＋，－，×是普通實(shí)數(shù)的加、減、乘法運(yùn)算．證明運(yùn)算°滿足結(jié)合律．證明"a,b,c?R，＝＝＝＝所以，運(yùn)算°滿足結(jié)合律．例6敘述自然數(shù)定義第2章例
6、１已知，解不等式解：設(shè)所給不等式的定義域?yàn)?，即欲使，則必有把實(shí)數(shù)分為區(qū)間因?yàn)橐阎?，所以只需在討論。顯然在內(nèi)，；在內(nèi)，；在內(nèi)，又因?yàn)?，所以不等式的解為?．設(shè)x，y，z為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足9x2+12y2+5z2=9求f(x,y,z)=3x+6y+5z的極大值．解利用柯西不等式3x+6y+5z＝3x×1+＝所求極大值是81．例3敘述凸函數(shù)定義例4．若,求的最小值。解設(shè)，已知是下凸函數(shù)，對(duì)任意的且，有所以的最小值為。第3章例1證明剩余類環(huán)是交換環(huán)證明：剩余類環(huán)是有限環(huán)，任取中的元素，有則剩余類環(huán)是交換環(huán)。例2找出剩余類環(huán)的真零因子解剩余類環(huán)，所以剩余類環(huán)的真零因子為
7、2和3例3設(shè)Z}，證明集合R對(duì)于普通數(shù)的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)整環(huán)．證明易知R對(duì)于數(shù)的加法和乘法封閉．，在R中有零元．，即存在負(fù)元素．＋，×滿足結(jié)合律，且×對(duì)＋滿足分配律．存在,，總之，R是整環(huán)．例4敘述可逆元素、不可約元素、素元素和相伴元素定義例5求被除的余式？解由余式定理知用除，余式為，則所求余式為=16例6求剩余類環(huán)的多項(xiàng)式方程的根。解設(shè)多項(xiàng)式方程為因?yàn)?，，，，所以剩余類環(huán)的多項(xiàng)式方程的根為為多項(xiàng)式方程的根。例7敘述多項(xiàng)式的代數(shù)定義和分析定義的區(qū)別？（參見教材）例8求方程f(x)=x5+2x4+3x3+4x2+5x+6的根的上下限解由上述結(jié)論1，f(x)的
8、根的模上限為1+=7，再由結(jié)論2可得的
