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《解析函數(shù)在平面向量場的應用.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、CHINAUNIVERSITYOFPETROLEUM復變函數(shù)與積分變換研討報告解析函數(shù)在平面向量場的應用所在院系：考生姓名：學號：指導教師：所在班級：完成日期：2014年04月15日解析函數(shù)在平面向量場的應用摘要：本文通過研究平面向量場的通量、散度、環(huán)量和旋度的物理意義及數(shù)學表達式，由柯西黎曼方程找出解析函數(shù)和平面向量場的關系，并舉例說明解析函數(shù)的運算法則在平面向量場實際問題的應用。關鍵詞：平面向量場無源無旋解析函數(shù)應用發(fā)生物理現(xiàn)象的空間部分稱為場，場是物理量的空間函數(shù)，其中物理量是失量的稱為矢量場，比如力場，電磁場等。能用一個二維向量充分表示的場叫二維向量場，又稱為
2、平面向量場。在平面向量場中，取定一個直角坐標系xOy，場中每一個向量都可以用A=Ax（x,y）i+Ay(x,y)j來表示，Ax(x,y)與Ay(x,y)是向量在x軸與y軸上的分量。由于平面中所有的點都可以用復數(shù)z=x+iy來表示，所以平面矢量場A就可以由復變函數(shù)A(z)=Ax（x,y）+Ay(x,y)i來表示。以流速場為例，在流動中，垂直于某平面的每一垂線上所有各質點的速度相同，且與指定平面平行成為流體的平面流動，而個質點的速度僅與位置有關而不隨時間變化稱為平面穩(wěn)定流動。在平面穩(wěn)定流動中取平面z，如果在Z上某一區(qū)域D內(nèi)的每一點都有一個大小和方向都不隨時間變化的向量與它
3、對應，則在D內(nèi)確定了一個穩(wěn)定平面向量場。在D內(nèi)任取一條簡單曲線C，以C為準線，做一個高為1的柱面，則單位時間內(nèi)通過這個柱面流向它某一側的流量，即流體的質量，稱為通過C流向這一側的流量。既是流量的物理意義。設流體的密度為1，故流量可以用流體在D上覆蓋的面積來表示。取曲線C上的弧元素AB=ds，取定法線方向總指向C的右側。設在A處的速度向量為v，而vn為v在法線方向上的投影。如果C是一條簡單閉曲線，在單位時間內(nèi)通過ds流向法線側的流量為Q=CVnds在復平面上，對應的設v的實部為Vx=Vx(x,y)以及虛部為Vy=Vy(x,y)，于是v可以表示為v=Vx(x,y)+Vy(
4、x,y)i。于是流過C的流量為Qc=CVxdy-Vydx當沿C正向Qc=0時，流出與流入相等凈流量為0，則稱流速場V無源。同時由格林公式，可將Qc整理為Qc=CVxdy-Vydx=C?Vx?x+?Vy?ydxdy如果我們?nèi)《?Vx?x與?Vy?y均連續(xù),設z0(x0,y0)為D內(nèi)一定點,Cr是以p0為中心,r為半徑的小圓周,而Qr為通過Cr的流量,可以證得Qrπr2在z0點的極限值與?Vx?x+?Vy?y在p0點的值相等，這時?Vx?x+?Vy?y稱之為流速場在z0=x0+iy0點的散度。散度是向量場的一種強度性質，就如同密度、濃度、溫度一樣，它對應的廣延性質是一個封
5、閉區(qū)域表面的通量，所以散度是通量的體密度。流量是散度的積分，環(huán)量為0是場無源。記為divV=?Vx?x+?Vy?y即當散度為0時，稱這個流量場為無源場。而在復變函數(shù)中，可以看出，若流速場f(z)=Vx+iVy在D內(nèi)連續(xù)，上述條件即可表示為對D內(nèi)的每一點(x,y)∈D有柯西—黎曼方程之一的?Vx?x=-?Vy?y成立，則流體的流動是無源的。再定義流體通過曲線AB的環(huán)量,這時在AB上取一點P,流速在切線上分量為Vt,它沿AB積分,就得到曲線AB的速度環(huán)量記為Г。而對D內(nèi)任一條簡單閉曲線C，稱CVtds為流體在單位時間內(nèi)沿曲線C的環(huán)量。若沿D內(nèi)的任一簡單必曲線的環(huán)量是0，則
6、稱這個流體的流動是無旋的。在區(qū)域D內(nèi)，由格林公式可知，Г=CVxdx+Vydy=C?Vy?x-?Vx?ydxdy與散度同理，將數(shù)值?Vy?x-?Vx?y在z0=x0+iy0處的值稱為在這一點的旋度，記為rotV=?Vy?x-?Vx?y。旋度的重要性在于，可用通過研究表征矢量在某點附近各方向上環(huán)流強弱的程度。當rotV=0，即?Vy?x-?Vx?y=0時，將流量場稱為無旋場。故在復變函數(shù)中，若流速場f(z)=Vx+iVy在D內(nèi)連續(xù)，對D內(nèi)的每一點(x,y)∈D有柯西—黎曼方程另一個條件的?Vy?x=?Vx?y成立，則流體的流動無旋。由上述分析，我們就可以看出，流速場f(
7、z)=Vx+iVy在D內(nèi)連續(xù)，對D內(nèi)的每一點(x,y)∈D滿足柯西-黎曼方程，那么這個平面流體流動是即無源又無旋的?？梢哉f當一個函數(shù)能用無源無旋的二維向量場表示時,它是一個單連通域內(nèi)的解析函數(shù)，反之，解析函數(shù)也可以表示二維向量場。我們將這個解析函數(shù)記為ш=f(z)=φ(x,y)+iψ(x,y)則這個解析函數(shù)稱為能表示它的平面流速場的復勢，而φ(x,y)是向量場的勢函數(shù)，ψ(x,y)是向量場的流函數(shù)。在應用中，我們可以根據(jù)解析函數(shù)與平面向量場的對應關系解決實際問題。在流體力學中，設想有一與z平面平行且距離為1的另一平面，并考慮通過C上各點而與兩平面垂直
