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《用復(fù)變函數(shù)來表示平面向量場》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、2.4平面場2.4.1用復(fù)變函數(shù)來表示平面向量場物理上所謂“場”就是指每一點(diǎn)逗對應(yīng)有物理量的一個區(qū)域，在這里，只研究平行于一個平面的定常向量場，即場中的向量都平行一個平面S，而且垂直于S的任何一條直線上的內(nèi)的場示。點(diǎn)處的向量都是相等的，場中的向量于時(shí)間無關(guān)，顯然，這種向量場在所有平行于S的諸平面內(nèi)場的分布情況是完全相同的，因此它完全可以用于平行于S的平面圖(2.4.1)圖(2.4.2)在平面內(nèi)取定直角坐標(biāo)系，于是場中每一個具有分量圖(2.4.2)便可用復(fù)數(shù)來表示由于場中的點(diǎn)可用復(fù)數(shù)來表示，所以平面向量場可借助于復(fù)變函數(shù)：來表示，已知
2、某以復(fù)變函數(shù)由此可作出對應(yīng)的向量場為：同樣，考慮垂直于均勻帶電的無限長直導(dǎo)線的所有平面上，電場分布情況完全相同，因而可以取其中以平面作代表，當(dāng)作平面定常向量場來研究，由于電場強(qiáng)度向量所以該平面場可以用一個復(fù)變函數(shù)來表示。2.4.2平面流體場設(shè)“流體是不可壓縮”是指流體的密度不因壓力的變化而變化。取流體所在的平面為復(fù)平面，場內(nèi)各點(diǎn)處的速度向量為：若在某一區(qū)間D內(nèi)該場是無源的，那么：的全微分，即：是某一二元函數(shù)因而在這個函數(shù)的等值線上有上式表明，在曲線上，場的向量與該曲線相切，因此稱此曲線為流線，稱函數(shù)為流函數(shù)。又若在區(qū)域D內(nèi)，該場是無
3、旋的，則有：所以的全微分，即：而因此是場的勢函數(shù)，曲線稱為等勢線在等勢線上，有：若在區(qū)域D內(nèi)，該場無源又無旋，則有：因此，當(dāng)上述四個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，構(gòu)成一個解析函數(shù)，通常稱此函數(shù)，為這個場的復(fù)勢。由(2.2.2)知于是有通常稱是該場的復(fù)速度。從上述討論可以看到，一個無源無旋的平面流體場的復(fù)勢是一個解析函數(shù)，反之，已知一個解析函數(shù)，由此可構(gòu)造出一個平面流體場，而該流體場的復(fù)勢正是這個解析函數(shù)來表示，這就是解析函數(shù)的物理意義。除此之外，用復(fù)勢來刻畫流動比用復(fù)速度方便，因?yàn)橛蓮?fù)勢求復(fù)速度只用到求導(dǎo)數(shù)，反之則要用積分，而且由復(fù)勢容易求流線和勢
4、線，這樣就可以了解流動的情況。例1考查復(fù)勢為故勢線是流線是所以場中任一點(diǎn)的流速為方向指向x軸正向。該場的流動情況如（圖2.4.3)所示，這種流體稱為均勻常流（實(shí)線表示流線，虛線表示勢線）。流線等勢線圖(2.4.3)例2設(shè)原點(diǎn)是強(qiáng)度(在單位時(shí)間流出或漏去的液量）為N>0源頭（或N<0的溝匯)。而在無窮遠(yuǎn)處流體保持靜止，并且在平面上沒有其他的源頭和溝匯，顯然，流線是由原點(diǎn)發(fā)出的半射線，等勢線是以原點(diǎn)為中心的圓周。速度的大小僅與點(diǎn)z的模有關(guān)，方向與圓周的外法線的方向一致，因而流速向量可表示為：由于流體是不可壓縮的，流體在任一圓環(huán)域內(nèi)不能積
5、蓄，所以流過圓周與的流量為（其中是的單位外法線向量，是弧微分）所以：而流量可表示為：顯然它符合“在無窮遠(yuǎn)處靜止?fàn)顟B(tài)”要求，由此可求得復(fù)勢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為故所求復(fù)勢函數(shù)為：進(jìn)一步得到勢函數(shù)和流函數(shù)分別為：該場的流體情況(圖2.4.4)和(圖2.4.5)所示(實(shí)線表示流線，虛線表示勢線）。例3設(shè)原點(diǎn)是一個漩渦點(diǎn)，其強(qiáng)度為時(shí)間繞原點(diǎn)流動的液量為），上沒有其他的漩渦點(diǎn)，在此情況，流線是以原點(diǎn)為中心的圓周，等勢線是原點(diǎn)發(fā)出的射線，速度向量可表示為：(在單位在無窮遠(yuǎn)處流體保持靜止?fàn)顟B(tài)，并且平面而沿圓周的環(huán)量（其中的單位向量，是弧微分）因而：所以仿例
6、2可求得復(fù)勢為：故該場得流動情況在時(shí)，如(圖2.4.6)所示；在時(shí)，如(圖2.4.7)所示，圖2.4.6圖2.4.72.4.3平面靜電場取靜電場所在得平面為復(fù)平面，場強(qiáng)向量為：我們知道，若在某一區(qū)域D內(nèi)沒有電荷（即為管量場），則：從而知在區(qū)域D內(nèi)，是某一二元函數(shù)的全微分，即：與討論流體場一樣，在曲線上，場強(qiáng)向量與該曲線相切，因此稱此曲線為力線（即電力線），稱此函數(shù)為力函數(shù)。據(jù)電學(xué)理論知道，平面靜電場又是一個勢場，那么即有：因此在區(qū)間D內(nèi)也是某一二元函數(shù)的全微分，即由此得：是場E的勢函數(shù)，也可以稱為場的電位或電勢，等值線稱為等勢線或等
7、位線。所以若在某一區(qū)域D內(nèi)，不含有電荷，則力函數(shù)與勢函數(shù)滿足柯西－黎曼條件當(dāng)上述四個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，從而可得D內(nèi)的一個解析函數(shù)(2.4.5)稱這個函數(shù)位靜電場的復(fù)勢（或電位），場E可以用復(fù)勢表示為(2.4.6)可見靜電場的復(fù)勢和電流場的復(fù)勢相差一個因子通流體場一樣，利用靜電場的復(fù)勢，可見研究場的等式線和電力線分布情況，描繪出該場的圖形。，這是電工上的習(xí)慣用法，例1周圍所形成的電場，用q表示垂直于L。在此平面上一點(diǎn)處的場強(qiáng)記為E.求E的表達(dá)式。研究帶有電荷的無限長直線L的據(jù)電學(xué)中的疊加原理，可將向量E看作是電荷qdh所產(chǎn)生的強(qiáng)度向量dE
8、的和，將電荷qdh看作是集中于L上M點(diǎn)處的點(diǎn)電荷，由庫侖定理，高度為h的點(diǎn)電荷qhd的場強(qiáng)向量dE的大小等于向量E在復(fù)平面上，它的大小等于dE在復(fù)平面上的投影之和，因而其中是向量dE與復(fù)平面的夾角，由直角三角形MOP有于是因此又由于向
