等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和考點(diǎn)與題型歸納.docx

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1、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和考點(diǎn)與題型歸納一、基礎(chǔ)知識(shí)1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為＝q.(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝3．等比數(shù)列

2、與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，an＝·qn可以看成函數(shù)y＝cqx，其是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，因此數(shù)列{an}各項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在函數(shù)y＝cqx的圖象上；對(duì)于非常數(shù)列的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝－qn＋，若設(shè)a＝，則Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)．由此可知，數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)y＝－aqx＋a圖象上一系列孤立的點(diǎn)．對(duì)于常數(shù)列的等比數(shù)列，即q＝1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)y＝a1x圖象上一系列孤立的點(diǎn)．二、常用結(jié)論匯總—

3、—規(guī)律多一點(diǎn)設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq；若2s＝p＋r，則apar＝a，其中m，n，p，q，s，r∈N*.(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*)．(4)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{ban}，{pan·qbn}和也是等比數(shù)列．(5)若數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n，則＝q；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則＝q.[典例]　(2018·全國(guó)

4、卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm＝63，求m.[解]　(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝.由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程沒(méi)有正整數(shù)解．若an＝2n－1，則Sn＝＝2n－1.由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.綜上，m＝6.[題組訓(xùn)練]1．已知等比數(shù)

5、列{an}單調(diào)遞減，若a3＝1，a2＋a4＝，則a1＝(　　)A．2　　　　　　　　　　B．4C.D．2解析：選B　由題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，q>0，則a＝a2a4＝1，又a2＋a4＝，且{an}單調(diào)遞減，所以a2＝2，a4＝，則q2＝，q＝，所以a1＝＝4.2．(2019·長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，則a5＝(　　)A．4B．10C．16D．32解析：選C　設(shè)公比為q(q>0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因?yàn)閍2＝2

6、，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，則a5＝2×23＝16.3．(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3＝，S6＝，則a8＝________.解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由S6≠2S3，得q≠1，則解得則a8＝a1q7＝×27＝32.答案：32[典例]　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列．[證明]　因?yàn)閍n＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4

7、an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，所以＝＝＝＝2.因?yàn)镾2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．[解題技法]1．掌握等比數(shù)列的4種常用判定方法定義法中項(xiàng)公式法通項(xiàng)公式法前n項(xiàng)和公式法2．等比數(shù)列判定與證明的2點(diǎn)注意(1)等比數(shù)列的證明經(jīng)常利用定義法和等比中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和公式法經(jīng)常在選擇題、填空題中用來(lái)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列．(2)證明一個(gè)數(shù)列{an}不是等比數(shù)列，只需要說(shuō)明前三項(xiàng)滿足a≠a1·a3，或者

8、是存在一個(gè)正整數(shù)m，使得a≠am·am＋2即可．[題組訓(xùn)練]1．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2an－2n，證明：{an＋1－2an}是等比數(shù)列．證明：因?yàn)閍1＝S1,2a1＝S1＋2，所以a1＝2，由a1＋a2＝2a2－4得a2＝6.由于Sn＝2an－2n，故Sn＋1＝2an＋1－2n＋1，后式減去前式得an＋1＝2an＋1－2an－2n，即an＋1＝2an＋2n，所以an＋2－2an＋1＝2an＋1＋2n＋1－2(2an＋2n)＝2(a