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1、第二章內(nèi)積空間一、實內(nèi)積空間的定義§1、實內(nèi)積空間的概念定義1設,如果對，存在實數(shù)（記為）與之對應，且滿足下列條件①②③，當且僅當時等號成立。則稱實數(shù)為向量的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的實線性空間稱為實內(nèi)積空間，簡稱為內(nèi)積空間。例1常見幾個線性空間上內(nèi)積的定義：歐氏空間（有限維實內(nèi)積空間）：②上連續(xù)函數(shù)的全體構(gòu)成的空間：注：向量的長度或正交向量：④實數(shù)域上所有n次多項式構(gòu)成的線性空間：③實數(shù)域上所有n階方陣構(gòu)成的線性空間：性質(zhì)1（內(nèi)積的性質(zhì)）①②③定理1（Cauchy-Schwarz不等式）設是內(nèi)積空間，是中任意兩個向量，則有：當且僅當線性相關時等號成立。上Cauchy
2、-Schwarz不等式的分量形式：上Cauchy-Schwarz不等式的積分形式：例2設是中的一組向量，證明這組向量線性無關的充要條件是下列行列式（Gram）證明：設§2、正交基與子空間的正交關系定義1（正交組）內(nèi)積空間中兩兩正交的一組非零向量，稱之為正交組。注：任何一個正交組都是線性無關的。定義2（正交基）在n維歐氏空間中，由正交組構(gòu)成的基，稱之為正交基。如果正交基中每個基向量的長度均為1，則稱該組正交基為標準（或規(guī)范）正交基，通常記為定理1（正交基的構(gòu)造）任一n維歐氏空間都存在正交基。證明（略）。證明過程給出了正交基的一種構(gòu)造方法：著名的Schmidt正交
3、化方法（線性代數(shù)學過）。定義3（正交矩陣）設，如果，則稱為正交矩陣。性質(zhì)1不同標準正交基之間的過渡矩陣為正交矩陣。設n維歐氏空間的兩組標準正交基為即注：正交矩陣的不同列對應元素乘積的和為零；類似地可以證明正交矩陣的不同行對應元素乘積的和為零。正交矩陣性質(zhì)（略）定義4（正交子空間）設是內(nèi)積空間的兩個子空間，如果對，均有，則稱與是正交的子空間，并記為。性質(zhì)2設內(nèi)積空間的兩個子空間與是正交的，則是直和。兩種方法說明：交集為零空間；零元素表示唯一。定義5（正交補空間）設是內(nèi)積空間的兩個子空間，且滿足，則稱是的正交補空間，簡稱正交補，記為。性質(zhì)3n維歐氏空間的任一子空間
4、都有唯一的正交補。證明:①如果，則是唯一的正交補。②如果，在中選取一組正交基，并將其擴充為的一組正交基則就是的正交補。③唯一性：證明:①如果，則是唯一的正交補。同理例3已知中：，其中求。利用Schmidt正交化方法將其化為正交基：將擴充為的一組基：解：例4設，稱的子空間為矩陣的值域，求。注：一般來說，稱為矩陣的零空間?！?、內(nèi)積空間的同構(gòu)定義1（內(nèi)積空間的同構(gòu)）設是兩個內(nèi)積空間，如果和之間存在一個一一對應關系，使得對任意的滿足⒈⒉⒊則稱和是同構(gòu)的。注：首先作為線性空間是同構(gòu)的，在此同構(gòu)之下保持內(nèi)積不變。定理1所有n維歐氏空間都同構(gòu)。①設是n維歐氏空間，是其一組
5、標準正交基，則有定義容易驗證該映射為同構(gòu)映射，且保持內(nèi)積不變，從而與同構(gòu)。②設是另一n維歐氏空間，是其一組標準正交基，則有定義從而與同構(gòu)?！?、正交變換定義1（正交變換）設是內(nèi)積空間的線性變換，如果對任意的，滿足則稱線性變換為的一個正交變換。定理1（正交變換的等價定義）設是n維歐氏空間的一個線性變換，則下列命題等價：⑴是正交變換。⑵保持向量長度不變，即對，均有。⑶如果是的一組標準正交基，則也是的一組標準正交基。⑷在中任一標準正交基下的矩陣是正交矩陣。證明思路：是正交變換取是正交變換由§2中性質(zhì)1：不同標準正交基之間的過渡矩陣為正交矩陣，因此為正交矩陣。例5幾個
6、正交變換的例子：的一個線性變換，對則是正交變換。②設是內(nèi)積空間的一個線性變換，則是正交變換。即：保持距離不變的線性變換是正交變換。③設是內(nèi)積空間的一個變換，證明：如果保持向量的內(nèi)積不變，即對，則一定是線性變換，故是正交變換?！?、點到子空間的距離與最小二乘法定義1（距離）設是歐氏空間，，稱為與的距離，記為。性質(zhì)1（距離的性質(zhì)）①②③，當且僅當時等號成立。定義2（點到子空間的距離）設是歐氏空間的一個子空間，，稱為到的距離。問題:達到最小距離的具有什么性質(zhì)？設如果定義3最小二乘法問題提法1（矛盾方程組求解）設給定不相容（或矛盾）線性代數(shù)方程組其中尋求近似解，滿足故
7、稱之為最小二乘解，相應方法稱為最小二乘法。提法2（數(shù)據(jù)擬合問題）設給定一組數(shù)據(jù)，尋求一個近似函數(shù)（經(jīng)驗函數(shù)）來擬合該組數(shù)據(jù)，使得提法1的求法記問題相當于：對于給定的向量，尋求使得之間的距離達到最小。記法（正規(guī)）方程組解：例6：求下列方程組的最小二乘解一、復內(nèi)積空間的定義§6、復內(nèi)積空間（酉空間）定義1設,如果對，存在復數(shù)（記為）與之對應，且滿足下列條件①②③，當且僅當時等號成立。則稱復數(shù)為向量的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的復線性空間稱為復內(nèi)積空間，或稱為酉空間。例7常見幾個線性空間上復內(nèi)積的定義：n維酉空間（有限維復內(nèi)積空間）：③實數(shù)域上所有n次多項式構(gòu)成的線性空間：②
8、實數(shù)域上所有n階方陣構(gòu)成的線性空間：性
