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1、學案22 簡單的三角恒等變換導學目標：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟練應用.2.能運用兩角和與差的三角公式進行簡單的恒等變換．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝________________；(2)cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan2α＝________________________(α≠＋且α≠kπ＋)．2．公式的逆向變換及有關變形(1)sinαcosα＝___________
2、_________?cosα＝；(2)降冪公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；升冪公式：1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；變形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.自我檢測1．(2010·陜西)函數(shù)f(x)＝2sinxcosx是( )A．最小正周期為2π的奇函數(shù)B．最小正周期為2π的偶函數(shù)C．最小正周期為π的奇函數(shù)D．最小正
3、周期為π的偶函數(shù)2．函數(shù)f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分別為( )A．－3,1B．－2,2C．－3，D．－2，3．函數(shù)f(x)＝sinxcosx的最小值是( )A．－1B．－C.D．14．(2011·清遠月考)已知A、B為直角三角形的兩個銳角，則sinA·sinB( )A．有最大值，最小值0B．有最小值，無最大值C．既無最大值也無最小值D．有最大值，無最小值探究點一 三角函數(shù)式的化簡例1 求函數(shù)y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．變式遷移1 (2011·泰
4、安模擬)已知函數(shù)f(x)＝.(1)求f的值；(2)當x∈時，求g(x)＝f(x)＋sin2x的最大值和最小值．探究點二 三角函數(shù)式的求值例2 已知sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求2sin2α＋tanα－－1的值．變式遷移2 (1)已知α是第一象限角，且cosα＝，求的值．(2)已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值．探究點三 三角恒等式的證明例3 (2011·蘇北四市模擬)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，設tanα＝x，tanβ＝y(tǒng)，記y＝f(x)．(1)求證：tan(α＋β)
5、＝2tanα；(2)求f(x)的解析表達式；(3)若角α是一個三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)f(x)的值域．變式遷移3 求證：＝.轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用例 (12分)(2010·江西)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋msinsin.(1)當m＝0時，求f(x)在區(qū)間上的取值范圍；(2)當tanα＝2時，f(α)＝，求m的值．【答題模板】解 (1)當m＝0時，f(x)＝sin2x＝sin2x＋sinxcosx＝＝，[3分]由已知x∈，得2x－∈，[4分]所以sin∈，[5分]從而得f(x)的值域為.[6分](2)f(x)＝s
6、in2x＋sinxcosx－cos2x＝＋sin2x－cos2x＝[sin2x－(1＋m)cos2x]＋，[8分]由tanα＝2，得sin2α＝＝＝，cos2α＝＝＝－.[10分]所以＝＋，[11分]解得m＝－2.[12分]【突破思維障礙】三角函數(shù)式的化簡是指利用誘導公式、同角基本關系式、和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等，將較復雜的三角函數(shù)式化得更簡潔、更清楚地顯示出式子的結(jié)果．化簡三角函數(shù)式的基本要求是：(1)能求出數(shù)值的要求出數(shù)值；(2)使三角函數(shù)式的項數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)的種類最少；(3)分式中的分母
7、盡量不含根式等．1．求值中主要有三類求值問題：(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關系，解題時，要利用觀察得到的關系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系．(3)“給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角．2．三角恒等變換的常用方法、
8、技巧和原則：(1)在化簡求值和證明時常用如下方法：切割化弦法，升冪降冪法，和積互化法，輔助元素法，“1”的代換法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，＝＋，是的二倍角等．(3)化繁為簡：變復角為單角，變不同角為同角，化非同名函數(shù)為同名函數(shù)，化高次為低次，化多項式為單項式，化無理式為有理式．消除
