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1、第六章二階線性常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法數(shù)學(xué)物理方法——數(shù)學(xué)物理問題中的二階線性常微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為方程的系數(shù)→解的解析性級(jí)數(shù)解法得到的解總是指某一指定點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)收斂的無窮級(jí)數(shù)。p(z)、q(z)在z0點(diǎn)的解析性級(jí)數(shù)解在z0點(diǎn)的解析性。超幾何方程6.1二階線性常微分方程的常點(diǎn)和奇點(diǎn)定義若p(z)、q(z)在z0點(diǎn)解析，稱z0點(diǎn)為方程的常點(diǎn)。若p(z)、q(z)中至少有一個(gè)在z0點(diǎn)不解析，稱z0點(diǎn)為方程的奇點(diǎn)。舉例有限遠(yuǎn)處p(z)、q(z)有兩個(gè)奇點(diǎn)，z=0和z=1。所以，z=0和z=1是超幾何方程的奇點(diǎn)，有限遠(yuǎn)處的其它點(diǎn)為方程的常點(diǎn)。勒讓德方程舉例有限遠(yuǎn)處p(z)、q(z)有兩個(gè)奇點(diǎn)，
2、z=1和z=-1。所以，z=0和z=1是勒讓德方程的奇點(diǎn)，有限遠(yuǎn)處的其它點(diǎn)為方程的常點(diǎn)。要判斷z=∞是否為方程的奇點(diǎn)，作自變量變換二階線性齊次常微分方程可以化為標(biāo)準(zhǔn)形式為若t=0是常點(diǎn)/奇點(diǎn)，則z=∞就是常點(diǎn)/奇點(diǎn)。和不含t負(fù)冪項(xiàng)t=0(z=∞)為方程常點(diǎn)的條件可見，z=∞是勒讓德方程和超幾何方程的奇點(diǎn)。將代入方程得例題解求二階線性常微分方程，使其解為和。設(shè)所求方程為即(1)代入(2)得將代入方程得即即所求方程為若p(z)和q(z)在圓內(nèi)單值解析，則在此圓內(nèi)常微分方程初值問題(c0，c1為任意常數(shù))有唯一的一個(gè)解w(z)，且w(z)在這個(gè)圓內(nèi)單值解析。6.2方程常點(diǎn)鄰域內(nèi)的解定理∴均可展
3、開為冪級(jí)數(shù)：求解方法說明其中an，bn已知，c0，c1已知，確定出cn可求出方程的解。將展開為級(jí)數(shù)的p(z)，q(z)和w(z)代入方程：∵p(z)和q(z)在圓內(nèi)單值解析，可知冪次項(xiàng)(z-z0)n的系數(shù)全為0考察各冪次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為一次項(xiàng)系數(shù)為以此類推cn均可用c0和c1表示例題解求勒讓德方程在z=0鄰域內(nèi)的解，l為已知參數(shù)。統(tǒng)一求和指標(biāo)，k均從0記z=0為常點(diǎn)，有代入方程得zk同次冪合并后，得合并ck的系數(shù)，得即得遞推關(guān)系為偶次冪系數(shù)為同理，奇次冪系數(shù)為引進(jìn)記號(hào)則∴勒讓德方程在內(nèi)的解就是任意給定初始條件c0和c1，就可得到一個(gè)特解。尤其當(dāng)和時(shí)，即得特解二者的任意線性組合即為通解。
4、求解過程中，ck+2只與ck有關(guān)，而與ck+1無關(guān)，w1(z)是偶函數(shù)，w2(z)是奇函數(shù)。對(duì)于z→-z變換，勒讓德方程的形式不變，故w(-z)也是方程的解，且w(z)+w(-z)是偶函數(shù)，w(z)-w(-z)是奇函數(shù)。在常點(diǎn)鄰域內(nèi)求級(jí)數(shù)解的一般步驟1、將方程常點(diǎn)鄰域內(nèi)的解展開為泰勒級(jí)數(shù)，代入方程；2、比較系數(shù)，獲得系數(shù)間的遞推關(guān)系；3、反復(fù)利用遞推關(guān)系，求出系數(shù)ck的普遍表達(dá)式（用c0和c1表示），最后得出級(jí)數(shù)解。線性方程線性遞推關(guān)系w1(z)和w2(z)是兩個(gè)線性無關(guān)的特解例題解求方程在z=0鄰域內(nèi)的兩個(gè)級(jí)數(shù)解。代入方程得z=0是方程的常點(diǎn)，令考察同次冪系數(shù)零次冪系數(shù)一次冪系數(shù)二次冪
5、系數(shù)三次冪系數(shù)四次冪系數(shù)五次冪系數(shù)n次冪系數(shù)同理所以對(duì)應(yīng)和有兩個(gè)線性無關(guān)的特解：例題設(shè)是方程的解，在區(qū)域G1內(nèi)解析，若是在區(qū)域G2內(nèi)的解析延拓，即試證明：仍是方程的解。設(shè)證明g(z)在G2內(nèi)的解析是方程在G1內(nèi)的解，故在內(nèi)仍滿足方程而時(shí)，故在G2內(nèi)滿足方程即，由解析函數(shù)唯一性可知∵和線性無關(guān)∴朗斯基行列式例題設(shè)和是的兩個(gè)線性無關(guān)解，且均在區(qū)域G1內(nèi)解析，若和是和在G2內(nèi)的解析延拓，即時(shí)，試證：和仍線性無關(guān)上個(gè)例子已經(jīng)證得和仍是方程的解證明所以，和在G2內(nèi)仍線性無關(guān)。由解析函數(shù)的唯一性可知在G2內(nèi)解析設(shè)∵∴由以上例題可知，方程在不同區(qū)域內(nèi)的解式互為解析延拓，因此，可以由方程在某一區(qū)域內(nèi)的解
6、式出發(fā)，通過解析延拓推出方程在其它區(qū)域內(nèi)的解式。若z0是方程的奇點(diǎn)，則在p(z)和q(z)都解析的環(huán)域內(nèi)，方程的線性無關(guān)解是6.3方程正則奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的解定理其中為常數(shù)。當(dāng)或不是整數(shù)，或，方程的解均為多值函數(shù)，z0為其支點(diǎn)。將和代入方程，難以求出系數(shù)的普遍公式（無窮多正冪項(xiàng)與負(fù)冪項(xiàng)），當(dāng)級(jí)數(shù)解中只有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，總可以調(diào)整值，使級(jí)數(shù)中沒有負(fù)冪項(xiàng)。說明稱為正則解。方程在奇點(diǎn)鄰域內(nèi)有兩個(gè)正則解的條件是什么？定理充分必要條件富克斯定理方程在其奇點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)有兩個(gè)正則解和在z0點(diǎn)解析z=0和z=1均為超幾何方程的正則奇點(diǎn)。舉例z0=0時(shí)，和在z0=0處解析。z0=1時(shí)，和在z0=1處解析。z=1
7、和z=-1均為勒讓德方程的正則奇點(diǎn)。舉例z0=1時(shí)，和在z0=0處解析。z0=1時(shí)，和在z0=1處解析。要判斷z=∞是否為方程的奇點(diǎn)，作自變量變換（前面已推得）方程化為在t=0處，解析。則z=∞是方程的正則奇點(diǎn)。判斷z=∞是否為超幾何方程和勒讓德方程的正則奇點(diǎn)。例題超幾何方程：在t=0處解析，t=0為正則奇點(diǎn)。z=∞為超幾何方程的正則奇點(diǎn)。勒讓德方程：在t=0處解析，t=0為正則奇點(diǎn)。z=∞為勒讓德方程的正則奇點(diǎn)。將代入方程比較系數(shù)
