第7章__MATLAB 7.0 矩陣分析ppt課件.ppt

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1、第7章矩陣分析MATLAB為工程技術(shù)人員、科研工作者提供了方便、強大的數(shù)值計算功能，這也是MATLAB得以流行的重要因素。用戶在利用MATLAB解決實際問題時，首先將該問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后將相應(yīng)的數(shù)學(xué)求解過程翻譯為MATLAB程序代碼。同其他計算機語言（如C、C++、Java等）不同的是，MATLAB語言是一種邊解釋邊執(zhí)行的程序語言，其風(fēng)格更像是一種數(shù)學(xué)語言。因此用戶利用MATLAB解決問題并不需要了解很多編程方面的知識，而只需懂得基本的MATLAB語法。另外，MATLAB內(nèi)置了大量的數(shù)值計算函數(shù)，這些函數(shù)封裝了常用的

2、數(shù)值計算功能。利用這些數(shù)值計算函數(shù)，用戶能夠從煩瑣的編程工作中解放出來，集中精力解決問題。本書將MATLAB數(shù)值計算分為四章分別討論，本章及下面的兩章（8、9）分別介紹矩陣分析、函數(shù)分析和數(shù)據(jù)分析等初等數(shù)值計算內(nèi)容，第10章將討論數(shù)值計算的一些高級話題。本章的矩陣分析主要討論以下問題：矩陣基本運算，如加、減、乘、除四則運算等；矩陣特征量，如行列式、條件數(shù)、范數(shù)、秩等；矩陣分解；矩陣函數(shù)；稀疏矩陣。7.1MATLAB數(shù)值計算中的矩陣矩陣分析無論是在數(shù)學(xué)理論還是實際工程問題中都具有重要的應(yīng)用，例如，線性方程組的解與矩陣除法、矩

3、陣的特征量（如行列式、逆、條件數(shù)、秩等）、矩陣分解相關(guān)；二次型（，為特征矩陣）的最大（?。┲禐閷?yīng)特征矩陣的最大（?。┨卣髦?；線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)特征矩陣的譜半徑有關(guān)。MATLAB的最初雛形是為了解決大規(guī)模矩陣運算而編寫的一系列函數(shù)模塊。矩陣作為MATLAB的基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，一直是MATLAB的核心，是MATLAB基本的運算單元，其大部分的內(nèi)建函數(shù)也都支持矩陣作為輸入變量，用戶在編寫自用程序時也應(yīng)當(dāng)盡量遵循這一約定。7.1.1MATLAB中的矩陣前面的章節(jié)已對MATLAB中矩陣的概念、創(chuàng)建、操作等進行了詳細(xì)的介紹，矩陣作為

4、MATLAB數(shù)據(jù)組織、運算的基本單元，為MATLAB帶來了眾多的優(yōu)勢：高效，利用矩陣封裝多重循環(huán)運算，通過其內(nèi)置的程序優(yōu)化提高代碼運行效率；簡潔，矩陣對多重循環(huán)的封裝使代碼更加簡潔、方便；安全，矩陣運算內(nèi)置了相關(guān)的出錯處理，代碼更加安全，同時除錯也更加方便。另外，MATLAB的大部分內(nèi)建函數(shù)都支持矩陣作為輸入變量，相應(yīng)地以矩陣作為輸出變量，這使得程序結(jié)構(gòu)更加清晰，代碼編寫也更加簡便。7.1.2求解線性代數(shù)方程信號處理、自動控制等工程領(lǐng)域的眾多問題可以歸結(jié)為下面的數(shù)學(xué)問題：已知，則有，稱為系數(shù)矩陣，為值向量，為解向量。令，為

5、擴展系數(shù)矩陣，的解與的秩、的行列式、逆、條件數(shù)等有關(guān)，這些內(nèi)容將在下面的各節(jié)中詳細(xì)展開。7.1.3最大（小）值考慮信號估計理論中的一個經(jīng)典問題：在（恒量）的條件下，求向量使最大，其中為實對稱矩陣?？梢宰C明，當(dāng)為最大特征值對應(yīng)的特征向量時，達到最大值，為的最大特征值；相反，當(dāng)為最小特征值對應(yīng)的特征向量時，達到最小值，為的最小特征值。實際上，矩陣的特征值和特征向量在許多工程應(yīng)用中都具有很重要的應(yīng)用，例如線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)特征矩陣的譜半徑等。7.2矩陣基本運算矩陣是MATLAB數(shù)據(jù)組織和運算的基本單元，矩陣的加、減、乘、

6、除四則運算、冪運算、比較運算和邏輯運算等代數(shù)運算是MATLAB數(shù)值計算最基礎(chǔ)的部分。這里可以粗略地將矩陣運算分為兩類，即普通數(shù)值運算（四則運算、冪運算）和關(guān)系運算（比較運算、邏輯運算），最后本節(jié)特別介紹了矩陣的按位運算。為了描述的方便，這里對本節(jié)所涉及相關(guān)數(shù)學(xué)符號稍作統(tǒng)一，矩陣用大寫字母表示，如、、；矩陣的第行、第列元素用帶下標(biāo)的小寫字母表示，如、、；表示的轉(zhuǎn)置矩陣；表示的Hermite轉(zhuǎn)置；為方陣的行列式；為方陣的逆矩陣；為方陣的范數(shù)。7.2.1矩陣的加、減矩陣的加、減運算定義為相應(yīng)元素的加減。對矩陣、，其和（差），C也

7、為矩陣，且。矩陣的加、減運算要求參與運算的矩陣具有相同的大小，或者其中之一為標(biāo)量，例如矩陣A與標(biāo)量的和（差），為矩陣，且。7.2.2矩陣乘法7.2.3矩陣除法矩陣除法是乘法的逆運算，MATLAB也定義了兩類矩陣除法。第一類是矩陣的線性代數(shù)除法，對應(yīng)于矩陣線性代數(shù)乘法的逆運算。矩陣線性代數(shù)除法又有兩種算子，即右除算子和左除算子，如表所示。矩陣線性代數(shù)除法，則，則運算符名稱說明/右除左除7.2.4矩陣的冪矩陣的冪與矩陣乘法具有緊密的聯(lián)系，MATLAB也定義了兩類矩陣冪運算。第一類與矩陣線性代數(shù)乘法相對應(yīng)，由表示，其中為階方陣

8、，。7.2.5矩陣按位運算按位運算是MATLAB為矩陣設(shè)計的一種簡潔、高效、安全的運算模式，實際上是對多重循環(huán)的高效封裝，從而提高代碼執(zhí)行的高效和安全程度。前面介紹的矩陣加減、按位乘除、按位冪都是按位運算符。按位運算符一般有一個（.）作為前導(dǎo)符，矩陣的按位運算符+加-減按位乘按位右除按位左除按位冪7.2