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《2019年-二階線性常系數(shù)微分方程ppt課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、n階線性常系數(shù)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式9-5二階線性常系數(shù)微分方程1.線性常系數(shù)齊次方程常系數(shù)齊次線性微分方程基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化第十二章-----特征方程法故有特征方程特征根二階線性常系數(shù)齊次方程的解法(9.70)和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入(9.70)得所以令方程的解為(為待定常數(shù)),(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)根特征根為方程的兩個(gè)解線性無關(guān)得齊次方程的通解為(2)有兩個(gè)相等的實(shí)根特征根為可得方程的一個(gè)解,可驗(yàn)證也是
2、方程的一個(gè)解.帶入(9.70),得00這說明是方程（9.70）的一個(gè)解.又因?yàn)椋ú粸槌?shù)），線性無關(guān).方程的兩個(gè)解線性無關(guān)得齊次方程的通解為或例1的通解.解特征方程特征根:因此原方程的通解為得齊次方程的通解為(3)有一對共軛復(fù)根特征根為是方程的兩個(gè)解也是方程的解線性無關(guān).例2求下列微分方程的通解：解（1）特征方程為特征根:因而方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解方程的通解為（2）特征方程為特征根:因而方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解方程的通解為特征根的情況通解的表達(dá)式)sincos(21xCxCeyxbba+=實(shí)根211實(shí)根21=復(fù)根（3
3、）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;n階常系數(shù)線性齊次方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對應(yīng)項(xiàng)注意n次代數(shù)方程有n個(gè)根,而特征方程的每一個(gè)根都對應(yīng)著通解中的一項(xiàng),且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù).例3求的通解.解特征方程為易看出是一個(gè)特征根，于是利用多項(xiàng)式除法可得特征根:因此原方程的通解為例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例5.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解2.若干特殊線性常系數(shù)非齊次微分方程的
4、特解根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).—待定系數(shù)法①?為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,為n次多項(xiàng)式.(1)①注：(1)若?不是特征方程的根,代入原方程,得(*)由于是一個(gè)n次多項(xiàng)式，要使（*）的兩端恒等可令Q(x)為另一個(gè)n次多項(xiàng)式：其中為待定系數(shù).代入（*）比較兩端(*)(2)若?是特征方程的單根,即那么(*)成為(*)x的同次冪的系數(shù)，就得到n+1個(gè)方程聯(lián)立的方程組，從而確定(n+1)個(gè)待定常數(shù),所求特解為要
5、使（*）恒等，那末Q?(x)必須是n次多項(xiàng)式，令用同樣的方法確定的系數(shù).(*)3.如果??是特征方程的重根,即那么(*)成為(*)要使（*）恒等，那末Q?(x)必須是n次多項(xiàng)式.令用同樣的方法確定系數(shù).結(jié)論：在（1）中，若①則（1）具有形如的特解，其中與同次，k按?不是特征根、是特征單根、是特征重根依次取0、1或2.特別是特解補(bǔ)例求y?-2y?-3y=3x+1的一個(gè)特解.解對應(yīng)的齊次方程為y?-2y?-3y=0,其特征方程為這里?=0不是特征根，應(yīng)設(shè)特解為y*=b0x+b1.代入方程，-3b0x-2b0-3b1=3x+
6、1,比較x同次冪系數(shù)，得-3b0=3,-2b0-3b1=1.于是特解為求得例4求方程的通解.解對應(yīng)的齊次方程為特征方程：特征根：齊次方程的通解：這里?=0不是特征根，應(yīng)設(shè)特解為代入方程得比較x同次冪系數(shù)得：于是特解為原方程的通解為例5求的通解.解對應(yīng)的齊次方程的特征根為“5”不是特征根，所以設(shè)方程有特解代入微分方程得求得故得特解于是微分方程的通解補(bǔ)例解方程特征方程：代入原方程，得解齊次方程：特征根：齊次方程的通解因?yàn)闉樘卣鞣匠痰膯胃?，故設(shè)特解原方程的通解為補(bǔ)例求方程y?-5y?+6y=的通解.解對應(yīng)的齊次方程為y?-5
7、y?+6y=0,特征方程為特征根為齊次方程的通解為由于?=2是特征單根，故應(yīng)設(shè)特解代入方程，得比較x同次冪系數(shù)得解得于是特解為通解為①（2）其中a,b中可以一個(gè)等于0，設(shè)想方程(1)有如下形式的特解：其中A，B待定.代入(1),整理得由于函數(shù)組線性無關(guān)，上式兩端與的系數(shù)應(yīng)相等，即有其中A，B為未知數(shù).由線性代數(shù)的理論知，上式方程組有惟一解的充要條件是其系數(shù)行列式（1）當(dāng)與不同時(shí)為零(這等價(jià)于不是方程的特征根）時(shí)(9.82)有唯一解，記作A*，B*.這時(shí)方程（1）有特解①（11）當(dāng)與同時(shí)為零(這等價(jià)于是方程的特特征根）時(shí)
8、,由方程組（9.82）無法確定A與B.這時(shí)，設(shè)方程(1)有下列形式的特解其中常數(shù)A，B待定.將上式代入(1)(注意）由此得其系數(shù)行列式所以此方程有惟一解A*，B*，這時(shí)就是(1)的一個(gè)特解.例6求方程的通解.解對應(yīng)的齊次方程為特征方程為特征根為由于不是特征根，所以設(shè)特解為齊次方程的通解為代入方程得比較系數(shù)得解得A=1,B=3.特解
