圓中常見的輔助線的作法分類大全.pdf

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1、1．遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問題時(shí)）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑。或者連結(jié)圓心和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)。作用：1、利用垂徑定理；2、利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；3、利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。4、可得等腰三角形；5、據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角。例：如圖，ＡＢ是⊙O的直徑,PO⊥AB交⊙O于P點(diǎn)，弦PN與AB相交于點(diǎn)M，2求證：PM?PN=2PO.22分析：要證明PM?PN=2PO，即證明PM?PC=PO

2、，過O點(diǎn)作OC⊥PN于C，根據(jù)垂經(jīng)定理NC=PC，只需證明22PM?PC=PO，要證明PM?PC=PO只需證明Rt△POC∽R(shí)t△PMO.1證明:過圓心O作OC⊥PN于C，∴PC=PN2∵PO⊥AB,OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=90°.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽R(shí)t△PMO.POPC2212∴即∴PO=PM?PC.∴PO=PM?PN，∴PM?PN=2PO.PMPO2【例1】如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面積。AOBC【例2】如圖，⊙O的直徑為10，弦AB＝8，P是弦AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么O

3、P的長(zhǎng)的取值范圍是_________．【例3】如圖，弦AB的長(zhǎng)等于⊙O的半徑，點(diǎn)C在弧AMB上，則∠C的度數(shù)是________.2．遇到有直徑時(shí)常常添加（畫）直徑所對(duì)的圓周角。作用：利用圓周角的性質(zhì)，得到直角或直角三角形。例如圖，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑的圓交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．（1）求證：BA·BM=BC·BN；（2）如果CM是⊙O的切線，N為OC的中點(diǎn)，當(dāng)AC=3時(shí)，求AB的值．分析：要證BA·BM=BC·BN，需證△ACB∽△NMB，而∠C=90°，所以需要△NMB中有個(gè)直角，而BN是圓O

4、的直徑，所以連結(jié)MN可得∠BMN=90°。（1）證明：連結(jié)MN，則∠BMN=90°=∠ACBA∴△ACB∽△NMBBCAB∴BMBNM∴AB·BM=BC·BN（2）解：連結(jié)OM，則∠OMC=90°∵N為OC中點(diǎn)∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°CBNO1∵OM=OB，∴∠B=2∠MON=30°∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6【例4】如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，弦BC=2,∠B=C3．遇到90°的圓周角時(shí)ABO常常連結(jié)兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)。作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。A【例5】如圖，AB、AC是⊙O的的

5、兩條弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半徑是CBO5．遇到有切線時(shí)（1）常常添加過切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）（2）常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn)作用：1、可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。2、利用切線的性質(zhì)定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形?！纠?】如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC與AB成30°角，CD與⊙O切于C，交AB?的延長(zhǎng)線于D，求證：AC=CD．6．遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)切線判定分兩種：公共點(diǎn)未知作垂線、公共點(diǎn)已知作半徑切線的判定定理是：“經(jīng)過半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.”，就是說，要判

6、定一條直線是否是切線，應(yīng)同時(shí)滿足這樣的兩條：（1）直線經(jīng)過半徑的外端，（2）直線垂直于這條半徑，所以,在證明直線是切線時(shí),往往需要通過作恰當(dāng)?shù)妮o助線,才能順利地解決問題.下面是添輔助線的小規(guī)律.1．無點(diǎn)作垂線需證明的切線，條件中未告之與圓有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明垂足到圓心的距離等于半徑.例7．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥AB于A，BC⊥AB于B，若∠DOC=90°.求證：DC是⊙O的切線.分析：DC與⊙O沒有交點(diǎn)，“無點(diǎn)作垂線”，過圓心O作OE⊥DC，只需證OE等于圓的半徑.因?yàn)锳O為半徑，若能證OE=

7、OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，需證明△DEO≌△DAO證明：作OE⊥DC于E點(diǎn)，取DC的中點(diǎn)F，連結(jié)OF.又∵∠DOC=90°.∴FO=FD∴∠1=∠3.∵AD⊥AB，BC⊥AB,∴BC∥AD,∴OF為梯形的中位線.∴OF∥AD.∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.∴DO是∠ADE的角平分線.∵OA⊥DA，OE⊥DC，∴OA=OE=圓的半徑.∴DC是⊙O的切線.2．有點(diǎn)連圓心.當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想切線的判定定理，只要將該點(diǎn)與圓心連結(jié)，再證明該半徑與直線垂直.例8．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，切點(diǎn)為B，

8、OC平行于弦AD，求證：CD是⊙O的切線.分析：D在⊙O上，有點(diǎn)連圓心，連結(jié)DO，證明DO⊥DC即可.證明：連結(jié)DO，∵OC∥AD∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC而∠DAO=∠ADO∴