中考數(shù)學必考幾何模型：三垂直全等模型.doc

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1、三垂直全等模型模型三垂直全等模型如圖：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.結(jié)論：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析說到三垂直模型，不得不說一下弦圖，弦圖的運用在初中直角三角形中占有舉足輕重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求邊長，相似求邊長都會用到從弦圖支離出來的一部分幾何圖形去求解.圖①和圖②就是我們經(jīng)常會見到的兩種弦圖.三垂直圖形變形如下圖③、圖④，這也是由弦圖演變而來的.例1如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求證：AB＋CD＝BC.證明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°.∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.∴∠B

2、AE＝∠CED.在△ABE和△ECD中，∴△ABE≌△ECD.∴AB＝EC，BE＝CD.∴AB＋CD＝EC＋BE＝BC.例2如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，則DE的長為多少？解答：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°.∴∠EBC＋∠BCE＝90°.∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA.在△CEB和△ADC中，∴△CEB≌△ADC.∴BE＝DC＝0.8cm，CE＝AD＝2.5cm.∴DE＝CE－CD＝2.5－0.8＝1.7cm.例3如圖，在平面直角坐標系中，等腰Rt△ABC有兩個頂點在坐標軸上，求第

3、三個頂點的坐標.解答：（1）如圖③，過點B作BD⊥x軸于點D.∴∠BCD＋∠DBC＝90°.由等腰Rt△ABC可知，BC＝AC，∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACO＝90°.∴∠DBC＝∠ACO.在△BCD和△CAO中，∴△BCD≌△CAO.∴CD＝OA，BD＝OC.∵OA＝3，OC＝2.∴CD＝3，BD＝2.∴OD＝5.∴B（－5，2）.（2）如圖④，過點A作AD⊥y軸于點D.在△ACD和△CBO中，∴△ACD≌△CBO.∴CD＝OB，AD＝CO.∵B（－1，0），C（0，3）∴OB＝1，OC＝3.∴AD＝3，OD＝2.∴OD＝5.∴A（3，2）.跟蹤練習1．如圖，正方形ABCD，BE＝

4、CF.求證：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF.證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BD，∠ABC＝∠BCD＝90°.在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF.∴AE＝BF.（2）∵△ABE≌△BCF.∴∠BAE＝∠CBF.∵∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF.2．直線l上有三個正方形a、b、c，若a、c的面積分別是5和11，則b的面積是_____.解答：∵a、b、c都是正方形，∴AC＝CD，∠ACD＝90°.∵∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DCE.在△ABC和△CBE中

5、，∴△ACB≌△CDE.∴AB＝CE，BC＝DE.在Rt△ABC中，＝＋＝＋即＝＋＝5＋11＝16.3．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點P為BC上一動點（BP

6、CF，BE＝AF.∵EF＝AE－AF，∴EF＝CF－BE.（2）如圖，EF＝BE＋CF.理由：同（1）易證△ABE≌△CAF.∴AE＝CF，BE＝AF.∵EF＝AE＋AF，∴EF＝BE＋CF.4．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，設(shè)∠BCD＝α，以D為旋轉(zhuǎn)中心，將腰DC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DE.（1）當α＝45°時，求△EAD的面積；（2）當α＝45°時，求△EAD的面積；（3）當0°<α<90°，猜想△EAD的面積與α大小有無關(guān)系？若有關(guān)，寫出△EAD的面積S與α的關(guān)系式；若無關(guān)，請證明結(jié)論.解答：（1）1；（2）1；（3）過點D作DG⊥BC于點G

7、，過點E作EF⊥AD交AD延長線于點F.∵AD∥BC，DG⊥BC，∴∠GDF＝90°.又∵∠EDC＝90°，∴∠1＝∠2.在△CGD和△EFD中，∴△DCG≌△DEF∴EF＝CG，∵AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∴BG＝AD＝2，∴CG＝1.∴＝AD·EF＝1.∴△EAD的面積與α大小無關(guān).5．向△ABC的外側(cè)作正方形ABDE、正方形ACFG，過A作AH⊥BC于H，AH的反向延長線與EG交于點P