圖像多尺度幾何研究和其應(yīng)用

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1、圖像多尺度幾何研究和其應(yīng)用　　摘要：小波分析聯(lián)合時(shí)間-尺度函數(shù)分析非平穩(wěn)信號(hào)，從根本上克服了Fourier分析只能以單個(gè)變量描述信號(hào)的缺點(diǎn)，然而小波對(duì)于信號(hào)高維奇異性的幾何特征并不能夠稀疏的表示。多尺度幾何分析理論提供了線性奇異和面性奇異的高維函數(shù)的最優(yōu)表示。本文主要綜述性的介紹了多尺度幾何分析的產(chǎn)生及發(fā)展，重點(diǎn)介紹了shearlet的算法，與其在邊緣檢分析中的應(yīng)用，并展望多尺度幾何分析的發(fā)展方向。關(guān)鍵詞：傅里葉變換小波變換多尺度幾何分析shearlet邊緣分析中圖分類號(hào)：TP391.41文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

2、文章編號(hào)：1672-3791（2013）04（a）-0012-02生物學(xué)家對(duì)人類視覺系統(tǒng)的研究結(jié)果表明，人類視覺系統(tǒng)能自動(dòng)調(diào)節(jié)以使用較少的視覺神經(jīng)細(xì)胞來捕捉自然場(chǎng)景的本質(zhì)信息，在圖像表示中，如果圖像的表示方法有如下的五個(gè)特性，則能達(dá)到圖像的最優(yōu)表示[1]。8（1）“多分辨率”，使圖像從低分辨率到高分辨率逐步的逼近目標(biāo)，即帶通性。（2）“局域性”，在空域和頻域，我們所選擇的基函數(shù)必須是局部的，并且能隨尺度變化。（3）“臨界采樣”，具有較低的冗余結(jié)構(gòu)。（4）“方向性”，用長(zhǎng)條形的圖形逼近曲線，并且使用最少的

3、系數(shù)逼近奇異曲線。（5）“各向異性”，基的長(zhǎng)條形結(jié)構(gòu)實(shí)際上是方向性的一種體現(xiàn)，并且這種長(zhǎng)條形的長(zhǎng)度寬度比例不同，能處理圖像邊緣輪廓的平滑性。小波分析因?yàn)闆]有“方向性”和“各向異性”只有其它三種特點(diǎn)而導(dǎo)致不具有對(duì)具有線性奇異和面奇異特點(diǎn)的高維函數(shù)最稀疏的表示[2]。尋找更有效的奇函數(shù)，發(fā)展一種新的高維函數(shù)的最優(yōu)表示方法勢(shì)在必行，多尺度幾何分析（MultiscaleGeometricAnalysisMGA）[3]方法便應(yīng)運(yùn)而生了。多尺度幾何分析能滿足上述圖像有效表示的所有條件，在圖像分析中獲得了較大成功，體

4、現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢(shì)和潛力[4]。目前，多尺度幾何分析工具主要有主要包括Ridgelet[5]，Curvelet[6]，Beamlet[7]，Contourlets[8]，Directionlet[9]，Shearlet[10]等。1Shearlet變換Shearlet因其良好的多分辨性和多方向分解特性，使得它可以對(duì)圖像進(jìn)行靈活的多分辨和多方向分解，對(duì)圖像中的邊緣和紋理等細(xì)節(jié)信息能給出接近最優(yōu)的表示性能，是一種更為靈活的數(shù)字圖像表示方法。shearlet的構(gòu)造方法為[10]。令滿足以下三個(gè)條件。（1），其中

5、，為的傅里葉變換；（2）為連續(xù)小波，，；8（3）且，在區(qū)間上，且；則稱由，以及所生成的下列系統(tǒng)：為shearlet系統(tǒng)，為shearlet的基函數(shù)，其中，分別為各向異性膨脹矩陣和剪切矩陣。則剪切波波變換定義為：2Shearlet變換在圖像邊緣中的分析邊緣檢測(cè)和分析是多種圖像處理和計(jì)算機(jī)可視應(yīng)用程序的主要任務(wù)。事實(shí)上，由于邊緣通常是自然圖像最突出的特征，因此邊緣的定位對(duì)于更高級(jí)別的應(yīng)用程序來說是基本的低級(jí)任務(wù)，例如形狀識(shí)別、3D重現(xiàn)、數(shù)據(jù)增強(qiáng)和恢復(fù)等。邊緣可以看作是函數(shù)的一些點(diǎn)，的定義域?yàn)椋奶荻群艽?，?/p>

6、：其中是某個(gè)適當(dāng)選擇的閾值。很顯然，這種對(duì)邊緣的表示方法太簡(jiǎn)單，并不能直接地轉(zhuǎn)化為一種有效的邊緣檢測(cè)機(jī)制，這是因?yàn)閳D像通常會(huì)被噪聲影響且微分算子對(duì)噪聲極其敏感。因此，為了密切注視噪聲的干擾，在大多數(shù)常見的邊緣檢測(cè)機(jī)制中，圖像首先會(huì)被處理得平滑。例如，在經(jīng)典的Canny邊緣檢測(cè)算法中，首先用可度量的高斯函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行卷積為：×8其中且。其次，邊緣點(diǎn)被標(biāo)識(shí)為的梯度的軌跡最大值。注意，這種方法引入了一個(gè)定標(biāo)參數(shù)，當(dāng)減小時(shí)，邊緣定位的檢測(cè)變得更加精確；然而，當(dāng)減小時(shí)，檢波器也會(huì)變得對(duì)噪聲更加敏感。因此，邊緣檢波

7、器的性能極為依靠定標(biāo)（也有閾值）。在邊緣檢測(cè)和小波分析之間有個(gè)有趣而有用的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系首先被Mallat，Hwang和Zhong發(fā)現(xiàn)，可以總結(jié)如下：給定一個(gè)圖像，可容許的實(shí)偶函數(shù)的連續(xù)小波變換表示為：×其中，特別地，如果，那么：××這表明了平滑圖像的梯度的最大值正好與小波變換的最大值相一致。這個(gè)發(fā)現(xiàn)提供了一種自然的數(shù)學(xué)框架用于邊緣的多尺度分析[11]。以上描述的Canny邊緣檢波器或小波方法的主要限制是兩種方法在本質(zhì)上都是各向同性的。因此，它們?cè)谔幚磉吘壍母飨虍愋詴r(shí)不是很有效率。精確地標(biāo)識(shí)邊緣位置是特

8、別困難的，這是由于噪聲的存在以及當(dāng)幾個(gè)邊緣靠得太近或者彼此交叉的時(shí)候，例如三維物體的二維投影。在這些案例中，以下傳統(tǒng)邊緣檢波器的局限性特別的明顯。（1）辨別靠近的邊緣存在困難。各向同性的高斯濾波導(dǎo)致邊緣緊靠在一起，模糊成一條單個(gè)曲線。（2）粗劣的角度準(zhǔn)確性。在曲率或者交叉曲線的形狀突變中，各向同性的高斯濾波導(dǎo)致邊緣方位的不精確檢測(cè)。這會(huì)影響拐點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)的檢測(cè)。8為了更好的處理邊緣信息，引入了很多方法來代替各向同性的高斯濾波器，例如易操縱的、可