一維諧振子ppt課件.ppt

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1、2.7一維諧振子本節(jié)我們來討論一維諧振子問題。一維諧振子的哈密頓量為：滿足的定態(tài)定諤方程為：2.7一維諧振子為方便求解，引入系數(shù)：則方程可改寫為：這是一個變系數(shù)的二階常微分方程，當(dāng)很大時，，上式中的可略去。從而，得到上式的漸進(jìn)方程2.7一維諧振子其解就是原方程的解，又由于波函數(shù)在時的有限性條件，得在有限時應(yīng)該有限，在時它的行為也必須保證波函數(shù)有限。2.7一維諧振子為了求出在整個空間都合適的解，可以將系數(shù)視為的某一特定函數(shù)，假設(shè)方程的解為代回薛定諤方程，得到待定系數(shù)滿足的方程2.7一維諧振子其中：對

2、作泰勒展開可由得2.7一維諧振子當(dāng)時，的漸進(jìn)行為是與的漸進(jìn)行為相同。若為無窮級數(shù)時，在時將趨向無窮大。為了在時，波函數(shù)仍有限，必須斷為多項式。因為如果是多項式，當(dāng)時，它趨于無窮的行為永遠(yuǎn)比趨于零慢，從而保證了在是有限。2.7一維諧振子此時，有這是厄米方程，其解為厄米多項式。由（2.7.2）可知方程(2.7.1)有解的條件為2.7一維諧振子1.級數(shù)表示：式中厄米多項式有三種重要表示：2.7一維諧振子3.微分表示：2.積分表示：2.7一維諧振子厄米多項式具有如下性質(zhì)：1.遞推關(guān)系：2.微分性質(zhì)：2.7

3、一維諧振子3.正交歸一性：4.完備性：式中的展開系數(shù)為：2.7一維諧振子由式（2.7.1）即可得能量本征值為：叫振動量子數(shù)。相應(yīng)的為2.7一維諧振子從而其波函數(shù)為：式中歸一化常數(shù)為：由（2.7.2）可見，一維諧振子的能量也是量子化的，并且能量間隔相等，為。一維諧振子基態(tài)能量：叫零點能。2.7一維諧振子1、按經(jīng)典力學(xué)的結(jié)論，一維諧振子的能量如圖諧振子只能處于的范圍內(nèi)，的區(qū)域則是經(jīng)典禁區(qū)。經(jīng)典與量子的比較2.7一維諧振子而在量子力學(xué)中，由于隧道效應(yīng)，粒子可以到達(dá)經(jīng)典禁區(qū)，也就是說在所謂經(jīng)典禁區(qū)內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒

4、子的概率不為零。2、按經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律，在處振子的速度最大停留時間最短，在處振子的速度為零停留時間最長。將這一規(guī)律應(yīng)用于微觀粒子，自然會得到在處粒子出現(xiàn)的概率最小，而在處粒子出現(xiàn)的概率最大。而實際情況如何呢？2.7一維諧振子由時的波函數(shù)及概率密度的圖：2.7一維諧振子可以看出，在量子數(shù)較小的時候，粒子位置的概率密度的分布與經(jīng)典結(jié)論明顯不同?？梢酝茢?，隨著量子數(shù)的增大，概率密度的平均值將越來越接近經(jīng)典結(jié)論。