淺談導數(shù)及應用論文

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1、淺談導數(shù)及應用畢業(yè)論文摘要：導數(shù)概念是數(shù)學分析基本概念，是近代數(shù)學的重要基礎，是聯(lián)系初、高等數(shù)學的紐帶，它的引入為解決中學數(shù)學問題提供了新的視野,也是研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式、求曲線的斜率問題和求函數(shù)的極值最值等問題的有力工具。本文就導數(shù)的應用，談一點個人的感悟和體會。關(guān)鍵詞：導數(shù)極限應用函數(shù)不等式一、導數(shù)的概念及運算1．導數(shù)的概念：設函數(shù)y=f(x)在處附近有定義，如果Δx→0時，Δy與Δx的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)y=f(x)在Δx→0處的導數(shù)，記作；2．導數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在處的導數(shù)的幾

2、何意義，就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率，即斜率為過點P的切線方程為：.3.導函數(shù)、可導：如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導數(shù)，即對于每一個，都對應著一個確定的導數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù),稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)。此時稱函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)可導.4．可導與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)y=f(x)在點處可導，那么函數(shù)y=f(x)在點處連續(xù).5.依定義求導數(shù)的方法：13（1）求函數(shù)的改變量（2）求平均變化率（3）取極限，得導數(shù)＝6．幾種常見函數(shù)的導數(shù)：(C為常數(shù))；()；；；；；；。7．導數(shù)的四則運算法則：；；；8．

3、復合函數(shù)的導數(shù)：設函數(shù)u=(x)在點x處有導數(shù)u′x=′(x)，函數(shù)y=f(u)在點x的對應點u處有導數(shù)y′u=f′(u)，則復合函數(shù)y=f((x))在點x處也有導數(shù)，且或=f′(u)′(x).9.求導數(shù)的方法:(1)求導公式(2)導數(shù)的四則運算法則(3)復合函數(shù)的求導公式(4)導數(shù)定義10.導數(shù)的概念及運算的相關(guān)例題例1（1）求曲線在點（1，1）處的切線方程；（2）運動曲線方程為，求t=3時的速度分析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義及導數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導數(shù)就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時間的導數(shù)　解：（1），1

4、3　　，即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0　　因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1　?。?）　　　　注：切線是導數(shù)的“幾何形象”,是函數(shù)單調(diào)性的“幾何”解釋,要熟練掌握求切線方程的方法.例2若f（x）在R上可導，（1）求f（－x）在x=a處的導數(shù)與f（x）在x=－a處的導數(shù)的關(guān)系；（2）證明：若f（x）為偶函數(shù)，則為奇函數(shù).分析:（1）需求f（－x）在x=a處的導數(shù)與f（x）在x=－a處的導數(shù)；（2）求，然后判斷其奇偶性.（1）解:設f（－x）=g（x）,則===－=－∴f（－x）在x=a處的導數(shù)與f（x）在x=－a處的導數(shù)互為相反數(shù).（2）證明:==

5、=－=－∴為奇函數(shù).注:用導數(shù)的定義求導數(shù)時，要注意Δy中自變量的變化量應與Δx一致.13例3已知函數(shù)，數(shù)列的第一項，以后各項按照如下方式取定：曲線y＝在處的切線與經(jīng)過（0，0）和兩點的直線平行（如圖）。求證：當n時：（I）；（II）證明：（I）∵∴曲線在處的切線斜率∵過和兩點的直線斜率是∴.（II）∵函數(shù)當時單調(diào)遞增，而，∴，即因此又∵令則∵∴因此故例4.已知一個函數(shù)的圖像過點P（0，2），并且在點M（－1，f（－1））處的切線方程為．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；13（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解：（Ⅰ）由的圖像經(jīng)過P（0，2），知d=2，所以,.由在處的切線方程是，

6、知.故所求的解析式是.（Ⅱ）,解得當當故在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．例5證明過拋物線y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1

7、的一個交點的切線互相垂直.（1）求，之間的關(guān)系；（2）若＞0，＞0，求的最大值.分析由導數(shù)的幾何意義以及兩切線的位置關(guān)系即可求出，的關(guān)系，求的最大值可借助不等式求解.解析（1）對于C1：，有，對于C2：有，設C1與C2的一個交點為（），由題意知過交點（）的兩條切線互相垂直，∴即①又點（）在C1與C2上，故有②由①②消去可得，（2）由于＞0，＞0且，所以≤，當且僅當時，取等號，即的最大值為.本題以函數(shù)圖像為背景考查導數(shù)的幾何意義和語言轉(zhuǎn)化能力，而應用導數(shù)的幾何意義是解決這類問題的關(guān)鍵，即某一點的導數(shù)值，即為該點的切線斜率.2．以導數(shù)知識為工具研究函數(shù)單調(diào)性對函數(shù)

8、單調(diào)性的研究，導數(shù)作為強有力的工具提供