淺談導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用論文

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1、淺談導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用論文【摘要】導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用，為我們解決函數(shù)問(wèn)題提供了有力的工具，用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問(wèn)題，不等式問(wèn)題，還可以解析幾何相聯(lián)系，可以在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)問(wèn)題。因此，在教學(xué)中，要突出導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！菊繉?dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用，為我們解決函數(shù)問(wèn)題提供了有力的工具，用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問(wèn)題，不等式問(wèn)題，還可以解析幾何相聯(lián)系，可以在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)問(wèn)題。因此，在教學(xué)中，要突出導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！娟P(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用；函數(shù)；不等式【Abstract】Thederivativeforustoprovidethepoightsolveinthefunctionmostvalue

2、problemightalsotheanalyticgeometryrelate,mightintheknousthighlightthederivativetheapplication.【Key(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x，求導(dǎo)數(shù)得m′(x)=-xe-2x［ex+a(x-1)］而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0時(shí)為增函數(shù)故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0，從而m(x)≤0∴m(x)在x≤0時(shí)為減函數(shù)，則m(x)≥m(0)=1，從而②式得證由于①②討論可知，原不等式ex-x-1≤ax2e｜x｜2在a≥1時(shí)，恒成立（2）解：ex0-x0-1≤a·x02｜x｜2e

3、x0將變形為ax022+x0+1ex0-10③要找一個(gè)x00，使③式成立，只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值，滿足t(x)min0即可，對(duì)t(x)求導(dǎo)數(shù)t′(x)=x(a-1ex)令t′(x)=0得ex=1a，則x=-lna，取X0=-lna在0x-lna時(shí)，t′(x)0，在x-lna時(shí)，t′(x)0t(x)在x=-lna時(shí)，取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1下面只需證明：a2(lna)2-alna+a-10，在0a1時(shí)成立即可又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1，對(duì)p(a)關(guān)于a求導(dǎo)數(shù)則p′(a)=12(lna)2≥

4、0，從而p(a)為增函數(shù)則p(a)p(1)=0，從而a2(lna)2-alna+a-10得證于是t(x)的最小值t(-lna)0因此可找到一個(gè)常數(shù)x0=-lna(0a1)，使得③式成立最值證明在不等式中的應(yīng)用,一般轉(zhuǎn)化不等式(轉(zhuǎn)化的思想)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，（函數(shù)的思想方法）然后求這個(gè)函數(shù)的極（最）值，應(yīng)用恒成立關(guān)系就可以證明，對(duì)于應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)踐問(wèn)題，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。4求曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，y0）處的切線的斜率，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，其幾何意義是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)可以十分便捷地分析處理解析幾何中的有關(guān)切線問(wèn)題。例5:已知函數(shù)f(x)=

5、lnx，g(x)=12x2-a(a為常數(shù))，若直線l與y=f(x)和y=g(x)的圖象都相切，且l與y=f(x)的圖象相切于定點(diǎn)P（1，f（1））.（1）求直線l的方程及a的值；（2）當(dāng)k∈R時(shí)，討論關(guān)于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).分析:（1）∵f′(x)=，∴f′(1)=1∴k1=1,又切點(diǎn)為P（1，f（1）)，即（1，0）∴l(xiāng)的解析式為y=x-1，∵l與y=g(x)相切，由y=x-1y=12x2+a,消去y得x2-2x+2a+2=0∴△=（-2）2-4（2a+2）=0，得a=-12（2）令h（x）=f(x2+1)-g(x)=ln(x2+1)-12x

6、2+12∵h(yuǎn)′(x)=2x1+x2-x=-x(x-1)(x+1)1+x2，則h′(x)0，h(x)為增函數(shù)，-1＜x＜0或x＞1時(shí)，h′(x)0，h(x)為減函數(shù)。故x=±1時(shí)，h（x）取極大值ln2，x=0時(shí)，h（x）取極小值12。因此當(dāng)k∈(ln2，+∞），原方程無(wú)解；當(dāng)k=ln2時(shí)，原方程有兩解；當(dāng)12＜k＜ln2時(shí)，原方程有四解；當(dāng)k=12時(shí)，原方程有三解；當(dāng)k＜12時(shí)，原方程有兩解。5利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極（最）值解答這類問(wèn)題的方法是：①根據(jù)求導(dǎo)法則對(duì)函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)。②令導(dǎo)數(shù)等于0，解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。③分區(qū)間討論，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。④判斷極值點(diǎn)，求出極值。⑤求出區(qū)間端點(diǎn)值

7、與極值進(jìn)行比較，求出最值。例6：設(shè)x1、x2是函數(shù)f(x)=ax3+bx2-a2x(a0)的兩個(gè)極值點(diǎn).（1）若x1=-1,x2=2，求函數(shù)f(x)的解析式；（2）若｜x1｜+｜x2｜=22，求f(x)的最大值;分析:（1）∵f(x)=ax3+bx2-a2x(a0)，∴f′(x)=ax3+bx2-a2x(a0)依題意有f′(-1)=0f′(2)=0，∴3a-2b-a2=012a+4b-a2=0解得a=6b=-9，∴f(x)=6x2+9x2-36x.（2）∵f′(x)=3ax2+2bx-a2(a0),依題