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《淺談導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、淺談導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.freelforustoprovidethepoightsolveinthefunctionmostvalueproblemightalsotheanalyticgeometryrelate,mightintheknousthighlightthederivativetheapplication.【Key(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求導(dǎo)數(shù)得m′(x)=-xe-2xex+a(x-1)而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0時為增函數(shù)故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,從而m(x
2、)≤0∴m(x)在x≤0時為減函數(shù),則m(x)≥m(0)=1,從而②式得證由于①②討論可知,原不等式ex-x-1≤ax2e
3、x
4、2在a≥1時,恒成立(2)解:ex0-x0-1≤a·x02
5、x
6、2ex0將變形為ax022+x0+1ex0-10③要找一個x00,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值,滿足t(x)min0即可,對t(x)求導(dǎo)數(shù)t′(x)=x(a-1ex)令t′(x)=0得ex=1a,則x=-lna,取X0=-lna在0x-lna時,t′(x)0,在x-lna時,t′
7、(x)0t(x)在x=-lna時,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1下面只需證明:a2(lna)2-alna+a-10,在0a1時成立即可又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1,對p(a)關(guān)于a求導(dǎo)數(shù)則p′(a)=12(lna)2≥0,從而p(a)為增函數(shù)則p(a)p(1)=0,從而a2(lna)2-alna+a-10得證于是t(x)的最小值t(-lna)0因此可找到一個常數(shù)x0=-lna(0a1),使得③式成立最值證明在不等式中的應(yīng)用,一般轉(zhuǎn)化不等式(轉(zhuǎn)化的思想)
8、構(gòu)造一個函數(shù),(函數(shù)的思想方法)然后求這個函數(shù)的極(最)值,應(yīng)用恒成立關(guān)系就可以證明,對于應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實踐問題,關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。4求曲線y=f(x)在點(x0,y0)處的切線的斜率,運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù),其幾何意義是曲線在該點處切線的斜率,利用導(dǎo)數(shù)可以十分便捷地分析處理解析幾何中的有關(guān)切線問題。例5:已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=12x2-a(a為常數(shù)),若直線l與y=f(x)和y=g(x)的圖象都相切,且l與y=f(x)的圖象相切于定點P(1,f(1)).(1)求直線l的
9、方程及a的值;(2)當(dāng)k∈R時,討論關(guān)于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的實數(shù)解的個數(shù).分析:(1)∵f′(x)=,∴f′(1)=1∴k1=1,又切點為P(1,f(1)),即(1,0)∴l(xiāng)的解析式為y=x-1,∵l與y=g(x)相切,由y=x-1y=12x2+a,消去y得x2-2x+2a+2=0∴△=(-2)2-4(2a+2)=0,得a=-12(2)令h(x)=f(x2+1)-g(x)=ln(x2+1)-12x2+12∵h′(x)=2x1+x2-x=-x(x-1)(x+1)1+x2,則h′(x)0,
10、h(x)為增函數(shù),-1x0或x1時,h′(x)0,h(x)為減函數(shù)。故x=±1時,h(x)取極大值ln2,x=0時,h(x)取極小值12。因此當(dāng)k∈(ln2,+∞),原方程無解;當(dāng)k=ln2時,原方程有兩解;當(dāng)12kln2時,原方程有四解;當(dāng)k=12時,原方程有三解;當(dāng)k12時,原方程有兩解。5利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極(最)值解答這類問題的方法是:①根據(jù)求導(dǎo)法則對函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)。②令導(dǎo)數(shù)等于0,解出導(dǎo)函數(shù)的零點。③分區(qū)間討論,得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。④判斷極值點,求出極值。⑤求出區(qū)間端點值與極值進行比較,求出最值。例
11、6:設(shè)x1、x2是函數(shù)f(x)=ax3+bx2-a2x(a0)的兩個極值點.(1)若x1=-1,x2=2,求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若
12、x1
13、+
14、x2
15、=22,求f(x)的最大值;分析:(1)∵f(x)=ax3+bx2-a2x(a0),∴f′(x)=ax3+bx2-a2x(a0)依題意有f′(-1)=0f′(2)=0,∴3a-2b-a2=012a+4b-a2=0解得a=6b=-9,∴f(x)=6x2+9x2-36x.(2)∵f′(x)=3ax2+2bx-a2(a0),依題意,x1,x2是方程f′(x
16、)=0的兩個根,且
17、x1
18、+
19、x2
20、=22,∴(x1+x2)2-2x1x2+
21、x1+x2
22、=8.∴(-2b3a)2·(-a3)+2
23、-a3
24、=8,∴b2=3a2(6-a).∵b2≥0,∴0a≤6.設(shè)p(a)=3a2(6-a),則p′(a)=-9a2+36a.由p′(a)0得0a4,由p′(a)0得a4.即:函數(shù)p(a)在區(qū)間(0,4上是增函數(shù),在區(qū)間4,6上是減函數(shù),∴當(dāng)a=4時,p(a)有極大值為96,∴p(a)在(0,6上的最大值是96
