淺談導數的幾點應用

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1、淺談導數的幾點應用導數是解決數學問題的重要工具，很多數學問題如果利用導數探求思路，不僅能迅速找到解題的切入點，而且能夠把復雜的分析推理轉化為簡單的代數運算，達到避繁就簡、化難為易、事半功倍的效果。如在求曲線的切線方程、方程的根、處理函數的單調性、最值問題；數列，不等式等相關問題方面，導數都能發(fā)揮重要的作用。一、利用導數求曲線的切線方程例1.已知函數f（x）=x3-3x過點a（0，16）作切線，求此切線的方程。解：∵點a（0，16）不在曲線f（x）=x3-3x上∴可設切點為b（x0，y0），則y0=x03-3x，∵f’（x0）=3（x02-1

2、）∴曲線f（x）=x3-3x在點b（x0，y0）處的切線方程為l：y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0），又點a（0，16）在l上∴16-（x03-3x0）=3（x02-1）（0-x0）∴x03=-8，x0-2，切點b（-2，-2）所求切線方程為9x-y+16=0。二、討論方程的根的情況例２.若a>3，試判斷方程x3-ax3+1=0在［0，2］上根的個數。解：設f（x）=x3-ax2+1，則f’（x）=3x2-2ax。當a>3，x∈［0，2］時f’（x）0，f（2）=9-4a1即m>2時，函數f’（x）在（-∞，1）上為增函數

3、，在（1，m-1）內為減函數，在（m-1，+∞）上為增函數。根據題意有：當x∈（1，4）時f’（x）0，所以4≤m-1≤6解得5≤m≤7，所以m的取值范圍是［5，7］。五、利用導數求解函數的極值例5.已知函數f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值，討論f（1）和f（-1）是函數f（x）的極大值還是極小值。解：f’（x）=3ax2+2bx-3由題意可知∵在x=±1時f’（x）=0，即3a+2b-3=03a-2b-3=0，解得a=1b=0?！鄁（x）=x3-3x，f’（x）=3（x+1）（x-1）。當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）

4、，時f’（x）>0當x∈（-1，1）時，f’（x）0，有不等式x>ln（x+1）成立。設f（x）=x-ln（x+1），（x>0），則有f’（x）=證明：∵x>0，∴f’（x）>0，又f（x）在x=0處連續(xù)，f（x）在［0，+∞］上單調遞增，∴x>0時，f（x）>f（0）=0，即x-ln（1+x）>0，x>ln（1+x）。八、利用導數求數列的前n項和例8.求數列nxn-1（x≠0,1）的前n項和。解：設數列nxn-1（x≠0,1）的前n項和為sn，則sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=（x+x2+x3…+xn）’=（）’==（x≠0，1）

5、。即為數列nxn-1（x≠0，1）的前n項和。九、利用導數解決實際應用問題例9.某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時間僅能持續(xù)5個月，預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現供大于求使價格連續(xù)下跌，現有三種價格模擬函數：（1）f（x）=pqx；f（x）=px2+qx+1；（3）f（x）=x（x-q）2（以上三式中p，q均為常數，且q＞1）。（1）為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數，為什么？（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所選函數f（x）的解析式。（注：函數的定義域是［0，5］，其中x=0表示8月1日，

6、x=1表示9月1日，……以此類推）