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1、淺談導數(shù)在經(jīng)濟優(yōu)化問題中的應用摘要:木文利用數(shù)學中的導數(shù)討論了商品價格與需求的關系，價榕與收益的關系,還討論了新釀的酒窖藏多少年收益最高的問題。關鍵詞：導數(shù)；彈性；總收益用數(shù)學的方法討論經(jīng)濟是經(jīng)濟學中的熱門，如文獻[1]-[4]。在經(jīng)濟學中，經(jīng)常遇到一些優(yōu)化問題，如什么條件下用料最省，容量最大，花錢最少，利潤最大等。本文利用數(shù)學中的導數(shù)討論了商品價格與需求的關系，價格與收益的關系,并且利用具體的例子進行了說明，在文章最后利用導數(shù)討論了新釀的酒窖藏多少年收益最高的問題。本文的研究主要是在數(shù)學小導數(shù)的基
2、礎上展開的，因此首先給出導數(shù)的定義。定義1設函數(shù)y二f(x)在點xO的某個鄰域有定義，當自變量x在xO處取得增量x(點xO+x仍在該鄰域內)時,相應地,函數(shù)y取得增量y=f(xO+x)-f(xO),如果當x->0時，極限存在，則稱此極限值為函數(shù)y二f(x)在點xO處的導數(shù)，記為y‘x=xOo導數(shù)反映了函數(shù)相對于自變量變化而變化的快慢程度。在經(jīng)濟學中，常研究一個變量對另一個變量的相對變化情況，為此引入下面定義定義2設函數(shù)y二f(x)可導，當自變量x在xO處取得増量x時，相應地，函數(shù)y取得增量y=f(x
3、O+x)-f(xO),稱極限為函數(shù)在點xO處的彈性，記為注：Bf(x)反映f(x)對x變化反應的靈皺度。用需求彈性分析總收益的變化，總收益R是商品價格與銷售量Q的乘積，即R=P?Q二P?f(P)則R的導數(shù)這里用表示需求彈性從(2)式知當-1?0時，需求變動的幅度小于價格變動的幅度，這時，即R'>0,R遞增，即價格上漲，總收益增加，價格下跌，總收益減少。當<-1時，需求變動的幅度大于價格變動的幅度,這時R'<0,R遞減,即價格上漲，總收益減少，價格下跌，總收益增加。當二T吋，需求變動的幅度等于價格變動
4、的幅度，這吋，R'二0,R取得最大值。例1某商品的需求函數(shù)為Q二75-P2(Q為需求量，P為價格)討論價格分別為4個單位，5個單位，6個單位時的價格與需求的關系，價格與收益的關系。接下來求總收益函數(shù)R=P?Q=P?f(P)的彈性計算結果說明當P二4II寸，價格上漲1%,需求將減少0.54%,總收益將增加0.46%；當P=5時,價格上漲1%,需求將減少1%,總收益將不再增加也不再減少,此時已達到最大值；當P二6時，價格上漲1%,需求將減少1.85%,總收益將減少0.85%,因此當價格定為5個單位時，收
5、益最大，最大值R二P?Q二5X(75-52)二250。接下來利用導數(shù)討論一個更為具體的例子例2某商店以每臺350元的價格每周可能售出CD唱機200臺，市場調查指出，當價格每降低10元時，一周的銷售量可增加20臺，現(xiàn)討論：為使銷售額最大，價格定為多少更為合適。解：設調價后，每周能售出X臺CD唱機，則價格函數(shù)可寫為銷售函數(shù)可寫為Rx二xP(x)二450x-0.5x2其圖象是開口向下的拋物線，所以冇唯一的最大值，令R‘(x)二450-x二0,所以當x二450時，銷售額最大，這時對應的價格為P(450)=4
6、50-0.5X450=225(元)，銷售額R(x)=450X225=101250(元)。接下來利用導數(shù)討論一個房租定價問題。例3某房地產(chǎn)公司有50套公寓要岀租，當租金定為每月180元時，公寓可全部租出去，當租金每月増加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費，試問房租定為多少可獲得最大收入？解：設房租為每月X元，則租岀去的房子為50-■套，每月的總收入為解方程R‘(x)=0,得唯一駐點x二350,所以每月每套租金350元時收入最大,最大收入為R(350)二10890
7、(元)。接著利用導數(shù)討論新釀的酒窖藏多少年收益最高的問題。例4設某廠冇一批新釀的酒，如果現(xiàn)在（假定t=0）就售岀，總收入為R0（元）。如果窖藏起來待來日按陳酒價格出售，t年末總收入為R二ROeo假設銀行的年利率為r,并以連續(xù)福利計算，試求尸0.06吋，酒磔藏多少年售出可使總收入的現(xiàn)值最大。解:根據(jù)連續(xù)復利公式，這批酒窖藏t年售出總收入R的現(xiàn)值為A（t）=Re-rt,故t0為最大值點，當r=0.06時，tO^ll年，故當酒窖藏11年售岀可使總收入的現(xiàn)值最大。以上可以看出數(shù)學屮的導數(shù)在描繪商詁價格與需求
8、的關系，價格與收益的關系，以及存貨時間與收益的關系起到了巨大的作用。參考文獻[1]王洪海，基于蒙特卡洛模擬法的概率型量本利分析[J]?財會通訊，2007,10:117-117.[2]郭煥俊，數(shù)學方法在管理會計中的應用[J]?商業(yè)研究，1999,205：129-129.[3]楊嬪，基于預算的薪酬機制對自由開支決策的影響[J]?財會通訊，2007,10:16-16.[4]田劍，經(jīng)驗曲線：低成本擴張的商業(yè)研究[J]?商業(yè)研究，1999,207：67-68.西山焦煤集團鎮(zhèn)礦財
