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1、多因子變異數(shù)分析前言在「心理治療」例子裡，如果這些治療都在白天進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)結(jié)論未必能類推到晚上。此時(shí)可採(cǎi)二因子實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：（1）治療方法，（2）治療時(shí)間。治療方法分為3種，治療時(shí)間分為2種，因此為3?2的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。後隨機(jī)將受試者分派至這六種情境裡。第一節(jié)結(jié)構(gòu)模式（1）令細(xì)格內(nèi)的數(shù)值為依變項(xiàng)Yijk，其中i代表編號(hào)，j代表治療時(shí)間，k代表治療方法。例如Y321代表接受晚上/行為改變法治療，編號(hào)為3的數(shù)值。表示白天/行為改變細(xì)格的平均數(shù)，表示白天/認(rèn)知細(xì)格的平均數(shù)。和分別代表白天和晚上的平均數(shù)。、、分別代表行為改變、認(rèn)知改變、安慰丸法的平均數(shù)。
2、代表總平均數(shù)。第一節(jié)結(jié)構(gòu)模式（4）Yijk=mjk+eijk由於mjk=m+(mj.-m)+(m.k-m)+(mjk-mj.-m.k+m)mj.-m反映出第1個(gè)因子（時(shí)間）的效果m.k-m反映出第2個(gè)因子（治療方法）的效果mjk-mj.-m.k+m反映出這兩個(gè)因子交互作用。第一節(jié)結(jié)構(gòu)模式（5）令aj=mj?-mbk=m?k-mabjk=mjk-mj?-m?k+m則Yijk=m+aj+bk+abjk+eijk由於aj，bk，abjk均為離均差，因此第一節(jié)結(jié)構(gòu)模式（6）模式假設(shè)：eijk是常態(tài)分佈，平均數(shù)為0，變異數(shù)為s2。誤差之間是獨(dú)立的
3、。如果所有的aj等於0，則第一個(gè)因子的各個(gè)組平均數(shù)都相等。因此aj反映第一個(gè)因子「主要效果」。如果所有的bk等於0，則第二個(gè)因子各組平均數(shù)都相等。所以bk反映出第二個(gè)因子主要效果。第一節(jié)結(jié)構(gòu)模式（7）在abjk方面，如果當(dāng)j=1，m1k-m1.-m.k+m=0，則m1k-m1.=m.k-m。同樣的，當(dāng)j=2，m2k-m2.-m.k+m=0。甚者對(duì)所有的j而言，都是如此。這表示第二個(gè)因子中K組平均數(shù)間差異和第一個(gè)因子沒有關(guān)連，也就是沒有交互作用效果。反之，如果K組間平均數(shù)的差異，隨著j不同而不同，就表示這兩個(gè)因子有交互作用。第一節(jié)結(jié)構(gòu)模式
4、（8）例子1如果心理治療的6個(gè)細(xì)格的母體平均數(shù)如表2，求各個(gè)a，b，和ab。並說明公式（14.7）和（14.8）成立。第一節(jié)結(jié)構(gòu)模式（9）a1=m1?-m=50–54.5=-4.5，a2=m2?-m=59–54.5=4.5。因此a1+a2=0。b1=m?1-m=41.5–54.5=-13，b2=m?2-m=45–54.5=-9.5，b3=m?3-m=77–54.5=22.5，因此b1+b2+b3=0。第一節(jié)結(jié)構(gòu)模式（10）不是所有a都等於0，時(shí)間有主要效果。不是所有b都等於0，治療方法有主要效果。不是所有abjk都等於0，時(shí)間和治療方法
5、有交互作用。第一節(jié)結(jié)構(gòu)模式（11）第一對(duì)用以檢定第一個(gè)因子的主要效果：:a1=…=aJ=0:至少有一個(gè)aj不等於0。第二對(duì)用以檢定第二個(gè)因子的主要效果：:b1=…=bK=0:至少有一個(gè)bk不等於0。第三對(duì)用以檢定這兩個(gè)因子間的交互作用效果：:ab11=…=abJK=0:至少有一個(gè)abjk不等於0。第二節(jié)平方和的分割（1）SST=SSb+SSw(14.9)SSb=SSA+SSB+SSAB(14.10)公式（14.9）和（14.10）成立的必要條件就是細(xì)格的樣本數(shù)n都相等。第二節(jié)平方和的分割（2）第二節(jié)平方和的分割（3）第二節(jié)平方和的分割（
6、4）當(dāng)A因子主要效果為0的虛無假設(shè)成立，則，E(MSA)=s2，且會(huì)服從F分佈，分子自由度為J–1，分母自由度為JK(n–1)。如果計(jì)算的F值超過a顯著水準(zhǔn)的臨界值，則拒絕虛無假設(shè)，即A因子有主要效果。第二節(jié)平方和的分割（5）當(dāng)B因子主要效果為0的虛無假設(shè)成立，則，E(MSB)=s2，且會(huì)服從F分佈，分子自由度為K–1，分母自由度為JK(n–1)。如果計(jì)算的F值超過a顯著水準(zhǔn)的臨界值，則拒絕虛無假設(shè)，即B因子有主要效果。第二節(jié)平方和的分割（6）當(dāng)A和B因子交互作用為0的虛無假設(shè)成立，則，E(MSAB)=s2，且會(huì)服從F分佈，分子自由度為
7、(J–1)(K–1)，分母自由度為JK(n–1)。如果計(jì)算的F值超過a顯著水準(zhǔn)的臨界值，則拒絕虛無假設(shè)，即A和B因子有交互作用。第二節(jié)平方和的分割（7）例子2在三種心理治療法對(duì)降低憂鬱癥的效果方面，經(jīng)過為期四週的實(shí)驗(yàn)處理後，得到如表5的結(jié)果，數(shù)字越大表示憂鬱癥狀越強(qiáng)。這三種方法的效果是否有異？白天和晚上的效果是否有異？治療方法和時(shí)間是否有交互作用效果？第二節(jié)平方和的分割（8）作法1.就時(shí)間而言，白天的平均數(shù)為50，晚上為59。就樣本數(shù)各為15人的情況下，差距只有9分，也許不會(huì)達(dá)顯著水準(zhǔn)。2.就治療方法而言，這三種方法的平均數(shù)分別為41.
8、5，45，77。認(rèn)知改變法與行為改變法的差距很小，可能未達(dá)顯著水準(zhǔn)。安慰丸法與其他兩種方法的差距非常大，有可能達(dá)顯著水準(zhǔn)。第二節(jié)平方和的分割（9）就交互作用而言第二節(jié)平方和的分割（10）對(duì)行為改變法和安慰丸
