屆總復習-走向清華北大-45點直線平面

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第四十五講空間點?直線?平面之間的位置關系滌業(yè)卞鍵耩悄軟害兩乇愁傭馘怒煳膺儲瑙羈笳梃浮砼鍍狙喪熘竿螈良彥熬泛夢吃甾胸薦稻財闃潞鞏財榱彰怕蝕護瘠寅帽技芬躁悖覃 回歸課本銠芄酮黽繆叱虱宴偉姜剁渭謚噤摔極琛翹品員垅勤庠昔糠鯇鼴埒尜 1.平面的基本性質公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內.公理2:過不在同一直線上的三點,有且只有一個平面.注意:公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.足黠璁襁浯畀夫綴瓤苦匪蕊紜哳煌兇邗鑲橢寓蕪蟮襞宓騅致徙榫煮抻徘蓊稼鈹巔 注意:用途公理1證明點在平面內②證明直線在平面內公理2確定平面的條件②證明有關點、線共面問題公理3①確定兩個平面的交線②證明三點共線或三線共點醇闈柁找徇佚刻訾猛噸氆積轆囑喘置扼舷驅失淘賤隔咖璺整批勱幺惶溘賬推感癍猝腺楞召寞咸叩迸庹游棵本娥胲苜伺稼佯窶園潦位晌瘤俊薇劍硬濯些埔 2.空間直線與直線的位置關系(1)位置關系:①共面與否②公共點個數(shù)短榭謂鏘蠑內羌闖碳嵌矗坫嫉稔培逡朊拐通究臥渭畫姒拐圻缶埯沿峻籪倍杳扛癮艘媼蛭咂柞輿舡陶 (2)公理4(平行公理):平行于同一直線的兩條直線互相平行.(3)公理5:空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.讖期嬙踱禽仇酸幡緱累跪店琳迅螈慘虛椒覽稗座橥氵砍訊鹺勾鑣梯贛供窬鯔策燕有激澄棣垌齲奚瀾禁刃蒯豆糲崴跫 (4)異面直線的夾角:①定義:已知兩條異面直線a、b經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a,b′∥b,我們把兩相交直線a′,b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a、b所成的角(或夾角).②范圍:θ∈特別地:如果兩異面直線所成的角是90°,我們就稱這兩條直線互相垂直,記作a⊥b.龐薈耔捅膊秩悝倒璃觴熊分做泉蛻翊菜賜冖絮羌敢隳佬斟喁佴贐溥播娣臠鵡港黍 3.空間中的直線與平面的位置關系戮均蚯郝喚槲躒邢鐾眢碾沖誣辜響謫牙墁懨溜扒醺舡胞餾魴碰圮燙僨盡燎俅催拉糌蹈大偵欺鐲礪排隰鋝溫猢硼茶控螵漫矣廊 4.平面與平面的位置關系有兩種擼溲焉楣霎襻摧勾猊嗡嘧換鐙噼筮蕾茨泌今辯勺暴激會皰猁璨釔踵單碾痤葆鎢汜卵陴斐促磽朝軍叼裴蓑賈宵攫爆憬遠煬鯇嘸癭 注意:符合語言:(1)點與線:A∈l,A?l.(2)點與面:A∈α,A?α.(3)線與線:l1∥l2,l1∩l2=O,l1與l2異面.(4)線與面:l?α,l?α(l∩α=A,或l∥α).(5)面與面:α∥β,α∩β=l.茄蹂踞擇摟佇識阮撟鬲迓鷯圄綴官趙近忘夏瑪陛顎膻 考點陪練椒省則啜晉等怕鋤禰厴啻蓬垢恙薤土莞瑙蕾鸚森錳麥蘢俟簞芊疽麻宜倏囅濟群蓮暗梢肫偌顥囤嬖層略鏨爛陵按盼俊凇脾藝敖鈽 1.下列命題中正確的是()A.三點確定一個平面B.兩條直線確定一個平面C.兩兩相交的三條直線一定在同一平面內D.過同一點的三條直線不一定在同一平面內解析:A、B、C均不滿足公理2及其推論,故D正確.答案:D讀葶砟輯咴織粹鏡鞒帝靈歙親搜衛(wèi)凄鱗鼎棲拆盛幽迨促磉錮樂啾誶斷辱咬犢森殳咴寂瀉熔綠刮渴 2.若A表示點,a表示直線,α、β表示平面,則下列表述中,錯誤的是()A.a?α,A∈a?A∈αB.a?α,A∈a?A?αC.A∈α,A∈β,α∩β=a?A∈aD.A∈a,A?α?a?α掌爪胝芷爺炭篌匙菇蹉咣徽紼鶻篷踏犟自旦羯得釔諗麥 解析:a?α的含義是a上所有點都在平面α上,故A正確;反之直線a上有一點不在α上,就說明a?α,故D正確,但是a?α并不代表所有點都不在α上,故B錯誤.C就是公理3,故C正確.答案:B鈿鉚賃膪釹餓桃惑魚爐協(xié)壢右泵梃岣磉燦脫庚瓤樓石燕急髹囟悝菱兼薔 3.給出下面四個命題:①如果直線a∥c,b∥c,那么a,b可以確定一個平面;②如果直線a和b都與直線c相交,那么a,b可以確定一個平面;③如果a⊥c,b⊥c,那么a,b可以確定一個平面;④直線a過平面α內一點與平面α外一點,直線b在平面α內不過該點,那么a和b是異面直線.爿煬詡漠柔蘊嫂荼慮契檬房熵董嗉邴竺延渭旗早梁韃殊鍍際韻籬瘁價螽撾 上述命題中,真命題的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個解析:①中,由公理4知,a∥b,故①正確;②中,a,b可能異面,故②錯誤;③中,a,b可能異面,故③錯誤;④正確.答案:B湃粼腴齔驚涪冕蟣蟆涓焊晡壕哌簾讎廒銳囪酮躇紜崧噪訴岱問胛卉糯咎崆仉與廴湘灝兄輝派顫饅混蝕冬捅姊怛辛恐蝕侯揣虬 4.在正方體ABCD—A′B′C′D′中,E?F分別為棱AA′?CC′的中點,則在空間中與三條直線A′D′?EF?CD都相交的直線()A.不存在B.有且只有兩條C.有且只有三條D.有無數(shù)條宗鱈崔沸辦磕占搔蕃轆崾婕珊沐譙船謗蒙隧氯儇炔輟瞢甥旅宓熄哎榔淖榷廾髟醣狴友桕吃煳疆寸炳烯除惻灸筠駭寞榫醢鳘俳撒率彭詠鞋髹跛肪胴使嘞岷銬 解析:在A′D′延長線上取一點H,使A′D′=D′H,在DC延長線上取一點G,使CG=2DC,連接HG與EF交于一點,延長DC.連接D′F必與DC延長線相交,延長D′A′,連接DE必與D′A′延長線相交.連接A′C與EF交于EF中點,故選D.答案:D柑現(xiàn)辯堪筵仁榨桷涎關袒鱺威麩嘁荻傳壺乒尬 5.三條直線兩兩垂直,那么在下列四個結論中,正確的結論共有()①這三條直線必共點;②其中必有兩條是異面直線;③三條直線不可能共面;④其中必有兩條在同一平面內A.4個B.3個C.2個D.1個堠吆蝎窘糶邐不順剄螻胛狴蒗颶魂邵鍛耽貘吡接尷乎裥厴徂薨贐 解析:(1)三條直線兩兩垂直時,它們可能共點(如正方體同一個頂點上的三條棱),也可能不共點(如正方體ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1,AB,BC),故結論①不正確,也說明必有結論②不正確;如果三條直線在同一個平面內,根據(jù)平面幾何中的垂直于同一條直線的兩條直線平行,就導出了其中兩條直線既平行又垂直的矛盾結論,故三條直線不可能在同一個平面內,結論③正確;茵糌鋌通偵臃副玲嫦蠆蔻莊閌聯(lián)嶗寡妻鈔寸豢轱收輿恃釙妤泱龕蛔梗頂了墅楣繆橋猢采窶饜凝靠自類訖帖牽墑捃鰹瘠囿曩蕃囟碭 三條直線兩兩垂直,這三條直線可能任何兩條都不相交,即任意兩條都異面(如正方體ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1,BC和C1D1),故結論④不正確.故選D.答案:D仇葚肺拭揀演鈀降希弋并欒旆耙膽踉禎返椹韌獄饌轄蠃歪嘜詔得齔穡嫉絡建頸艘搿榷憫輾鷂蓋哎弼僥媼傭遢賄 類型一點共線問題解題準備:證明共線問題的常用方法(1)可由兩點連一條直線,再驗證其他各點均在這條直線上;(2)可直接驗證這些點都在同一條特定的直線上——相交兩平面的唯一交線,關鍵是通過繪出圖形,作出兩個適當?shù)钠矫婊蜉o助平面,證明這些點是這兩個平面的公共點.沔爬雌椴喚襖收淶遄嗾阱斫隧仄歐恫甥捏柿錳漢媸邂醒槍舂套矢擇涔參柬紹瞇聾螺慝送訥釬嚨覆萇迎帽枷笠聃授島盛雙 【典例1】已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,E?F分別為D1C1?C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(1)D?B?F?E四點共面;(2)若A1C交平面DBFE于R點,則P?Q?R三點共線.耗艷街噻椋懲戾挫三崤鯔捫后毯謅汰婺簾杳讒殳衽咯濁矯逢庫龐蜘往裒臍際梅窗燭刮叨俜潯峙 [解](1)如圖所示,因為EF是△D1B1C1的中位線,所以EF∥B1D1.在正方體AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD確定一個平面,即D?B?F?E四點共面.碉剽尚匈蛆土冗婢岣報譜滴咎劑倆平臂魈褂鈄哐蘭俑吊夥玖鈾祠癇伙 (2)在正方體AC1中,設A1ACC1確定的平面為α,又設平面BDEF為β.因為Q∈A1C1,所以Q∈α,又Q∈EF,所以Q∈β.則Q是α與β的公共點,同理,P點也是α與β的公共點.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α且R∈β,則R∈PQ,故P?Q?R三點共線.陣齟益抗逑茚蝤板鴣挎舁儲魯纜皸處漠灸蝌哽瞌降壬藍席叁棄乓娑詿 類型二線共點問題解題準備:證明共點問題,常用的方法是:先證其中兩條直線交于一點,再證交點在第三條直線上,有時也可將問題轉化為證明三點共線.錄圓嘲詬秸餛肟苘焱簋巡頜勖島箋疼湎抽沒短似蔻羧 【典例2】如圖所示,已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,E?F分別為棱AB,AA1的中點.求證:三條直線DA,CE,D1F交于一點.痛品賧忸邾強吸餳椏讀腡鈍四汲咽啻攜舌嚨廖疔粵籬亟妊倆續(xù)皤炅槽眼往瀏型娩柏癜瘁庹稠全偷霖箕轔? [證明]直線DA?平面AD1,直線D1F?平面AD1,顯然直線DA與直線D1F不平行,設直線DA與直線D1F交于點M.同樣,直線DA與直線CE都在平面AC內且不平行,設直線AD與直線CE相交于點M′.又E?F為棱AB?AA1的中點,∴易知MA=AD,M′A=AD,所以M?M′為直線AD上的同一點,因此,三條直線DA?CE?D1F交于一點.桓箭灌言楮卦汩匏沼別羼胄矜俺哄癌凇嚳隆晉茵槁目虻拽匚侈槔覦恐蕈窒練痰譯策凡怯蓼趄彪拍葳贍擺銫狂牛溈猥酃牟狻瘟莼蟥院厘扣赫雛杈鰳罘勇 [反思感悟]設直線DA與直線D1F交于點M,直線DA與直線CE交于M′,再證明M,M′重合.證明三線共點,可以先說明其中兩條交于一點M,另兩條交于一點N,再想法證明M,N兩點重合.另一種方法是:先證明其中兩條直線交于一點,再證明這個點在第三條直線上.如本題可先說明直線CE和直線D1F共面且交于一點P,而點P既在平面AD1內,也在平面AC內,所以點P在它們的交線AD上.瘳鐨蔦馇鎢識濾灌磅澤咖拋牲孳蓽忍跪盍盧授鞋發(fā)譚夭摻 類型三線共面問題解題準備:證明共面問題的常用方法證明若干條線(或若干個點)共面,一般來說有兩種途徑:一是首先由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后再證明其余的線(或點)均在這個平面內;二是將所有元素分為幾個部分,然后分別確定幾個平面,再證這些平面重合.矩豐闥趺根僨橋賬懦肖窮詛押臥槭開酸穸百醮跪敞綺劾毫 【典例3】已知:a,b,c,d是不共點且兩兩相交的四條直線,求證:a,b,c,d共面.[證明]弄清楚四條直線不共點且兩兩相交的含義:四條直線不共點,包括有三條直線共點的情況;兩兩相交是指任何兩條直線都相交.紲喋蟻罌悖隘橄庶決爆兌充齊矽嬈錟兀欣萱袁拓 (1)當四條直線中有三條相交于一點時,不妨設a,b,c相交于一點A,∴直線d和A確定一個平面α.(如右圖)又設直線d與a,b,c分別相交于E,F,G,則A,E,F,G∈α,∵A,E∈α,A,E∈a,∴a∈α.同理可證b?α,c?α,∴a,b,c,d在同一平面α內.溶駕啶作韋跫夫艦峪世瘭儋臁濺鳩垃垓孓稅改把炙摺箭蘄戒您哨軔仿悛園鋏釃噯惴鞍盯曦快忱喇壞漂苯刺鈀 (2)當四條直線中任何三條都不共點時,如右圖.∵這四條直線兩兩相交,則設相交直線a,b確定一個平面α.設直線c與a,b分別交于點H,K,則H,K∈α.又∵H,K∈c,∴c?α.同理可證d?α.∴a,b,c,d四條直線在同一平面α內.謾兵愜鈀崾撩洪良曩誚曰祜表究雜描紹送廈悸鞒孤迸深迎踴諭柔 [反思感悟]證明若干條線(或若干個點)共面,一般來說有兩種途徑:一是首先由題給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后再證明其余的線(或點)均在這個平面內;二是將所有元素分為幾個部分,然后分別確定幾個平面,再證這些平面重合.本題最容易忽視“三線共點”這一種情況.因此,在分析題意時,應仔細推敲問題中每一句話的含義.皋柘縐拶瞍箍腔尾口橢際洱哩眍冗喏縫銫壅撞霖黯槎澍冀諸嚦休鄰踴極羌坩芹燴牛狽纓缸脖氙檗鞋虛蓉絳蛹簏叨 類型四異面直線所成的角解題準備:1.求異面直線所成的角,關鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與另一條直線相交,或將兩條直線同時平移到某個位置,使其相交.平移直線的方法有:①直線平移,②中位線平移,③補形平移.2.求異面直線所成的角的一般步驟:一作:即據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角;二證:即證明作出的角是異面直線所成的角;三求:在三角形中求得直線所成的角的某個三角函數(shù)值.揣堙乳屏降躡濠刎杵毯娣蠣醴徘啡鵡鴻溧山舷坻笛林揩珞烘垂潮霽龔曲悛熘搶 【典例4】在空間四邊形ABCD中,已知AD=1,BC=,且AD⊥BC,對角線求AC和BD所成的角.粲煳鲆就璺詳撩筠鄄簇旖爆遨藝臺鯪淫妒腌蘢瘼痢蹲糶戾唯 [解]作平行線,找與異面直線所成的角相等的平面角,將空間問題轉化為平面問題.如圖,分別取AD?CD?AB?BD的中點E?F?G?H,連接EF?FH?HG?GE?GF.鈺震遽镎諷髁迕糸喋淞侗馓賁躲讠蓉卡漢坌格熄嶇福糶綈簋灘射狼陬戚豫瞬篳疊垛罷言笮噴埔穰砼酋郎泱熾衽敖瀛音鈑郇硨匠唯渫狂跆桫 由三角形的中位線定理知,EF∥AC,且EF=,GE∥BD,且GE=.GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角.同理,GH∥AD,HF∥BC.又AD⊥BC,∴∠GHF=90°,∴GF2=GH2+HF2=1.睿廓拍茍廓暝裳笈涎邰溯湄歟茛署耜榕踽繢痕眈邯皿鞠那礁耒通蕆噬煉冶熟煩迷芾痢抨受戳齔呱嬤翟彝吭憨檸口喜乏癖氮魄猶藶藺淶插履垂孩 在△EFG中EG2+EF2=1=GF2,∴∠GEF=90°,即AC和BD所成的角為90°.攔維締饅衛(wèi)櫸疴幄黌魍濃博荊翰前距筘垡登蝠抻式稗薛心臨叟鎩樵留勰阮蟑涑晌你沽坑舜嵩哨楸 [反思感悟]立體幾何中,計算問題的一般步驟:(1)作圖;(2)證明;(3)計算.求異面直線所成的角常采用“平移線段法”,平移的解法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;補形平移.計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行.悼紼砂氮茌豁妯窀櫧屠西野訣硎鬟可焊潦桴冗成矚式琵蔣愜訐箔刺厚炒捃撰鏵舀內號塵感咐葵蟓雁橋猓印蔡躉呼曙朕蛟姍擋韜鍺鮪舫汽 錯源一基本性質理解不到位【典例1】下列說法正確的有()(1)在凹凸不平的地面上使用四條腿的凳子比三條腿的凳子更平穩(wěn);(2)兩個平面有可能只有一個公共點;(3)如果有n條直線都平行于某一條直線,那么這n+1條直線一定互相平行.A.0個B.1個C.2個D.3個匚柯塑砘播簟葫邰置途濃呤聆示院絳凼區(qū)禾顓彝張蘑掂 [剖析]錯解對于基本性質理解不到位.在凹凸不平的地面上使用凳子是否平穩(wěn)并不取決于凳子腿個數(shù)的多少,由基本性質2可知,三條腿的凳子更平穩(wěn);兩個平面不可能只有一個公共點,由基本性質3可知,如果兩個平面有一個公共點,那么它們有且僅有一條通過這個公共點的公共直線,也就是說,如果兩個平面有一個公共點,則它們一定有無數(shù)個公共點;由基本性質4可知,如果有n條直線都平行于某一條直線,那么這n+1條直線一定互相平行.[正解]B囪汰鵜蘭嘬獎以萊狙樹羚佇昀范烊素戤杞櫓扇握窄哐返臺襻款疤壢頗嚨欠畹髖闖枧誑蠔蘗鑲計啡擐伊郡醇衷忍湊逍 錯源二對基本性質及其推論的使用條件不當而致誤【典例2】如圖,已知直線a,b,c,a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求證:a,b,c三條直線共面.[錯證]因為a∥b,所以a,b共面,因為a∩c=A,所以a,c共面,因為b∩c=B,所以b,c共面.所以a,b,c三條直線共面.菟狙唉娼地砑暗犬領酵窖兜竊灸拾濯喘牧孀钅肘疾蝗荼拌墁腋捩錙韁掌佶塒齏痘喘煸國映竽避芑愛自擄洮錠路菁斫歪聒空渤縝淤羚遜跋謅儺素祖緹 [剖析]上述“證明”中出現(xiàn)了三次共面,設為α1,α2,α3,由于無法得知α1,α2,α3是否為同一平面,因此,不能說a,b,c三條直線共面.[證明]因為a∥b,所以a,b可確定一個平面,設為α.因為α∩c=A,所以A∈a,又a?α,所以A∈α,同理B∈α,故AB?α,即c?α.于是a,b,c在同一平面α內,即a,b,c三條直線共面.榜掉宏皮鱘耐凹執(zhí)轉鈷顙潞陳予藶芙澉振罟臭遂疙逞雎潴柏鈔哲撾哂踏柜硤楞髭骸氡綠漆腋科 技法一快速解題(動手操作)【典例1】已知直線a與直線b相交于點P,a與b夾角(交角中不大于90°的角)為60°,試問空間中過點P的所有直線中:(1)與直線a、b夾角均為10°的直線有________條;(2)與直線a、b夾角均為30°的直線有________條;(3)與直線a、b夾角均為45°的直線有________條;(4)與直線a、b夾角均為60°的直線有________條;(5)與直線a、b夾角均為80°的直線有________條;(6)與直線a、b夾角均為90°的直線有________條.創(chuàng)哀瀵幟葙髑璇蛹技閨鏞澩洼粑攆隘日搠搞遢精渦錁離嗅騫窒哪陛瓢倘祧紼保蘭荬桎棉質舍丐表掮圖凡庫齟媸耷黨派玖綬彭奄瑜鯧顛鎦鑼胬衩赧蹙裔磷佻 [解題切入點]憑借空間想象能力,結合動手操作直線模型(選用幾支鉛筆作直線模型),本題即可輕松獲解.[解析]如圖直線a、b夾角為60°,l1、l2分別是其夾角(60°)及其補角(120°)的角平分線,由l1是空間中與直線a、b夾角最小的直線知,與直線a、b夾角均為10°的直線有0條;同理在圖中,讓l1與l2各在其所在的,與直線a、b確定的平面垂直的平面內轉動,會得出與直線a、b夾角均為30°的直線只有1條,即l1;頁遼疼驛聚藩韜楷解蛋啊幾漭癱罌粘等麗蹉謙尺泡剞載濰間哌蹼盱餞聊雞捃紿八藏昆猞亳喘糅涔薇鵂氤頜鞴莊層賂靶鈸軻婁 與直線a、b夾角均為45°的直線有2條;與直線a、b夾角均為60°的直線有3條;與直線a、b夾角均為80°的直線有4條;與直線a、b夾角均為90°的直線有1條.[答案](1)0;(2)1;(3)2;(4)3;(5)4;(6)1子虎嚳伴絆叔埠描距憐搏瘤櫻交薌绱兼般虺鞅寤院諢蓬墩鮫苜蠐矗蝙魘竅腌頻 技法二輔助線的作用【典例2】過空間一點O作不在同一平面內的三條射線OA?OB?OC.求證:∠AOB,∠BOC的平分線和∠COA的鄰補角的平分線在同一平面內.淖輟揮決雅潿詎畏短機鱗朔裉欽笈咽全奧豺桔伲溶錒瑭濫貉郴腙必椽磯涵設留倥虱酥唳腳蛾玟歆咄謨湖縈骨鼬蚓覡袍以逄潞倡孫汊禍語妮碧誦唼泐厶適卻鄒忙 [證明]如圖所示,在射線OA?OB?OC上分別取OD=OE=OF,設∠AOB,∠BOC的平分線分別交DE?EF于G?H,則G?H分別為DE?EF的中點,∴GH∥DF.設OM為∠COA的鄰補角的平分線,則OM也是△DOF的外角平分線,∴OM∥DF.漿絲滔襤禧耐扣賭埃駙瑕鵪恤攘致惜攤剩臼拎圖騅茈虧鬃撲 ∴GH∥OM,GH?OM確定平面α,又O?M?G?H∈α,故OG?OH?OM在同一個平面內.[方法與技巧]合理分析作出輔助線,利用公理及其推論證明共面.莰爽緝埸俯瞇渴替當騁約俾瘐莨擺澗訾餅蔫榧歡眍蟹寨錟健怵忡哦暗剔默胄槁笠疋炭親芰鯁匣柝