從近幾年高考談解幾“范圍”問題的求解策略

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1、從近幾年高考談解幾“范圍”問題的求解策略江蘇省宜興市丁蜀高級中學湯文兵黎明郵編214221解析幾何中的“范圍”問題一直是高考中的難點和熱點。難在它綜合性強、靈活性高，熱的是它融眾多知識和技巧于一體，深得命題者偏愛。據(jù)筆者不完全統(tǒng)計，近十年的全國高考中,此類問題（包含最值）每年不少于10題，2013年多達19題，更有不少省份每年以這類問題為壓軸題。但教學中我們也發(fā)現(xiàn)有相當一部分學生因這類題目條件隱晦、變數(shù)較多、關系復雜、計算繁瑣，往往感到心中無數(shù)，甚至有些不知所措，有的學生還由此產(chǎn)生恐懼情緒，造成解題的心理障礙。

2、下面將通過近幾年相關高考題的分析來說明，解析幾何中“范圍”問題的求解其實也是有規(guī)可尋、有據(jù)可依的。一、構造有關量的不等式,通過解不等式求范圍解幾中的范圍問題很多是轉化為不等式來處理的，常規(guī)思路是看到“范圍”，馬上聯(lián)想“不等式”，“不等式”從何而來？其依據(jù)是什么？由此可知解題的關鍵是尋找“不等源”。1．[2013·新課標全國卷Ⅱ]已知點A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直線y＝ax＋b(a＞0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是(　　)A．(0，1)B.C.D.　[解析]：易得△ABC面

3、積為1，1）當直線y＝ax＋b分別交邊AB、BC于D、E時，，由得，又y＝ax＋b與x軸交于，結合圖形與，∴.∵a>0，∴>0b<，2）當直線y＝ax＋b分別交邊AC、BC于D、E時，同理易得點D橫坐標，點E橫坐標，由－）=得：，故，第8頁共8頁綜上，故答案為B.點評：題設＞0顯然是一個“不等源”，由面積相等將用表示，但僅限于此，只能得到b<或，另一個就只能猜了，不能得出正確結論。該題為填空壓軸題，有一定難度，此類問題用特殊位置法往往比較湊效。當＝0時，易得b＝1－；當＝時，易得b＝；當＝1時，易得b＝－1>

4、.故選B.2、[2007全國2理]在直角坐標系中，以為圓心的圓與直線相切．（1）求圓的方程；（2）圓與軸相交于兩點，圓內(nèi)的動點使成等比數(shù)列，求的取值范圍．解：（1）．（2）不妨設．由即得．設，由成等比數(shù)列，得，即．由于點在圓內(nèi)，故由此得．所以的取值范圍為．點評：按常規(guī)思路求得的表達式后需知的范圍，“圓內(nèi)的動點”就成了“不等源”。3、[2009全國卷Ⅰ理]如圖，已知拋物線與圓相交于、、、四個點。（I）求得取值范圍；解：（I）將拋物線與圓的方程聯(lián)立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）第8頁共8頁由題意，方

5、程（＊）有兩個不相等的正根即可.故易得.點評：本題通過聯(lián)立方程得一新的一元二次方程，由對稱性知拋物線與圓相交于四個點等價于該方程有兩個不等正根，故兩不等正根就是本題的“不等源”。二、構造有關量的函數(shù)式,轉化為求函數(shù)的值域相當一部分的解幾范圍問題是轉化為求函數(shù)的值域，目標函數(shù)的得出是關鍵。4、[2011上海文]已知橢圓（常數(shù)），是曲線上的動點，是曲線上的右頂點，定點的坐標為（1）若與重合，求曲線的焦點坐標；（2）若，求的最大值與最小值；（3）若的最小值為，求實數(shù)的取值范圍.解：⑴，橢圓方程為，∴左、右焦點坐標為。

6、⑵，橢圓方程為，設，則∴時；時。⑶設動點，則∵，∴，又當時，取最小值，∴，解得。點評：本題的（2）、（3）兩小題都是用距離公式建立的目標函數(shù)，再用配方求最值來處理。第8頁共8頁5、[2011浙江理]（第21題圖）如圖，P是拋物線C：y=x2上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q，若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍.解：設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，依題意x1≠0，y1>0，y2>0.設直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0，b).分別過P、Q作PP＇⊥x

7、軸，QQ＇⊥y軸，垂足分別為P＇、Q＇，則.由消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0.﹡則y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2.方法一：∴

8、b

9、()≥2

10、b

11、=2

12、b

13、=2.∵y1、y2可取一切不相等的正數(shù)，∴的取值范圍是（2，+）.方法二：∴=

14、b

15、=

16、b

17、.當b>0時，=b==+2>2；當b<0時，=－b=.又由方程﹡有兩個相異實根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，于是k2+2b>0，即k2>－2b.所以>=2.∵當b>0時，可取一切正數(shù)，第8頁共8頁∴的取值范圍是（2，

18、+）.方法三：由P、Q、T三點共線得kTQ=KTP，即=.則x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).于是b==－x1x2.∴==+=+≥2.∵可取一切不等于1的正數(shù)，∴的取值范圍是（2，+）.點評：本題首先用相似三角形性質將轉化為，方法一直接利用基本不等式顯得簡捷明了，相比之下方法二和方法三則繁了不少。解題時如何選擇合適的方法，這取決于各人的領悟