線代高斯消元法

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線性代數(shù)課程結構簡圖未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)相等行列式矩陣線性代數(shù)方程組未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)不等向量空間1 第四章線性方程組第一節(jié)高斯消元法第二節(jié)n維向量空間第三節(jié)向量組的線性相關性第四節(jié)向量組的秩第五節(jié)線性方程組解的結構2 解集合：解的全體第一節(jié)高斯消元法方程組最一般的表達形式：3解方程組：求出解集合 4 5 6 兩個方程組同解：方程組有相同解集合相容方程組：方程組有解，或者說解集合不為空集不相容方程組：方程組無解，或者說解集合為空集一些基本概念問題1：方程組是否有解？問題2：若方程組有解，則解是否唯一？問題3：若方程組有解且不唯一，則如何掌握解的全體？7 方程組的初等變換：高斯消元法（1）互換兩個方程的位置（2）用一個非零數(shù)乘某個方程的兩邊（3）將一個方程的兩邊同乘以某常數(shù)加到另一個方程對線性方程組施行初等變換后，新方程組與原方程組同解。性質例題：見課本P87頁例題1.1,1.2,1.38 系數(shù)矩陣未知量矩陣常數(shù)項矩陣方程組的矩陣表達形式：9 增廣矩陣方程組Ax=b與增廣矩陣存在一一對應關系：這是線性代數(shù)中最基本的一次抽象，將方程組與增廣矩陣一一對應起來，從而對方程組的研究轉化為對矩陣的研究（行列式，秩，初等變換等）。10 一一對應11 從課本例題介紹的消元法我們知道，消元法實質上是利用一系列方程組的初等變換將其變成同解的階梯形方程組.因此消元法也可看作是對其增廣矩陣實行一系列初等行變換化為階梯矩陣的過程.12 線性方程組解法討論方程組的初等變換對應于增廣矩陣的初等行變換增廣矩陣初等行變換階梯型矩陣由增廣矩陣經(jīng)過一系列初等行變換得到的階梯型矩陣，它對應的方程組與原先的方程組同解。定理13 與方程組求解過程比較，所有的增廣矩陣均可化為如下形式的階梯矩陣階梯型矩陣中可能有全為零的行，對應的均為多余的方程14 階梯型矩陣對應于一個新的方程組方程組有解15 我們得到方程組解的一般表達式（通解）：16 通解為17 18 本節(jié)主要定理：線性方程組解的情形19齊次線性方程組解的情形（b=0） 20推論1：當A為n階方陣時，齊次線性方程組只有零解當且僅當det(A)不為零；有非零解當且僅當det(A)等于零。推論2：當A的行數(shù)小于列數(shù)(即方程組中方程的個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù))時，齊次線性方程組一定有非零解。因為 例題解21 22 考慮:1.有無解2.有解(唯一解還是無窮多解)討論:23 最后的階梯型矩陣對應的線性方程組為其通解為24 方法2：由本題的特點，方程組中方程的個數(shù)與未知量個數(shù)一樣,可想到先求系數(shù)行列式,然后利用克萊姆法則25 26 本周作業(yè)：自習課本例題1.1—例題1.5，準確表達方程組的通解習題四P1101(1)，3，5，6，20(2)27