伴隨矩陣的若干性質(zhì)及應(yīng)用

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1、伴隨矩陣的若干性質(zhì)及應(yīng)用摘要矩陣是學(xué)習(xí)高等代數(shù)中的一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，而在矩陣的運(yùn)算和應(yīng)用中伴隨矩陣起著十分重要的作用.本篇文章運(yùn)用矩陣計(jì)算中的一些技巧和方法，證明了一般n階方陣和某些特殊矩陣的伴隨矩陣的一些性質(zhì).這些性質(zhì)的探討是基于矩陣的伴隨矩陣與原矩陣之間的關(guān)系，利用研究矩陣的方法來著手.通過這些性質(zhì)，對矩陣、伴隨矩陣有了更深一步地認(rèn)識(shí).而且，在以后的學(xué)習(xí)中遇到關(guān)于伴隨矩陣的問題我們可以直接應(yīng)用這些性質(zhì)，使問題變得簡單.關(guān)鍵詞矩陣伴隨矩陣特征值引言因?yàn)榘殡S矩陣是學(xué)習(xí)矩陣的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，在計(jì)算中經(jīng)常出現(xiàn)，把矩陣的伴隨矩陣看作一般的一個(gè)矩陣來研究.給出了伴隨矩陣的秩、

2、伴隨矩陣的轉(zhuǎn)置、伴隨矩陣的特征值、幾個(gè)特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)，以及伴隨矩陣的其他性質(zhì).這些性質(zhì)能幫我們方便解決在計(jì)算矩陣時(shí)遇到的問題.本文出現(xiàn)的矩陣和均為階方陣.1.一般階方陣其伴隨矩陣的一些性質(zhì)及應(yīng)用1.1,在求解與的乘積，和的有關(guān)的問題時(shí)可以從這個(gè)性質(zhì)著手.常用的關(guān)系式如下：當(dāng)為可逆矩陣時(shí)，也為可逆矩陣，由可得；當(dāng)為可逆矩陣時(shí)，由可得；例1、已知為一三階矩陣，且，求.解經(jīng)計(jì)算可得，所以.-12-例2、已知為一三階可逆矩陣，它的伴隨矩陣為，且，求.解.例3、已知和均為階矩陣，相應(yīng)的伴隨矩陣分別為和，分塊矩陣，求的伴隨矩陣.解由得，.1.2當(dāng)為可逆矩陣時(shí)，有證明因?yàn)?，?/p>

3、又因?yàn)閺亩?，?所以.例4、已知為一三階可逆矩陣，且，求伴隨矩陣的逆矩陣.㈠解因?yàn)?，且為可逆矩陣，可得，?8，,所以.-12-㈡本題用性質(zhì)6可直接得，可見簡單之處.1.3（為常數(shù)）證明因?yàn)?所以的階子式中每一個(gè)元素都是中的相對應(yīng)元素的倍，從每一行中提取公因子，從而矩陣中每一元素的階代數(shù)余子式就是.所以==故證之.例5、設(shè)為一個(gè)3階矩陣，且已知，求.解因?yàn)?，所?1.4伴隨矩陣的秩的性質(zhì)設(shè)是階矩陣,則秩-12-證明當(dāng)秩時(shí)，由于，兩邊同時(shí)取行列式，得所以故秩.當(dāng)秩，由從而可知的每一列都是方程組的解向量,故由此可得，又因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)階子式不為零，故至少有一個(gè)元素不為零，所

4、以此時(shí)秩.當(dāng)秩時(shí)，矩陣，所以秩.性質(zhì)4在解關(guān)于矩陣的題目中用的很廣泛，以下的性質(zhì)5、6、9、16的證明過程中都有用到性質(zhì)4，從而使證明簡單、明了.例6、設(shè)階方陣，若秩時(shí)，則秩______.A.B.C.D.解因?yàn)橹?，由以上性質(zhì)可得秩0，故選D.例7、設(shè)為一四階矩陣，且是的伴隨矩陣，求秩.解因?yàn)橹?，而?階矩陣，所以秩，由以上性質(zhì)可得秩.1.5證明當(dāng)可逆時(shí)，由于，因?yàn)?，兩邊同時(shí)乘以，得；-12-當(dāng)不可逆時(shí)，，則從而此時(shí)也有.例8、已知都是階方陣，.解.1.6（）證明當(dāng)，因?yàn)樗杂谑?當(dāng)由此可得當(dāng).例9、已知為階可逆矩陣,且，化簡.解因?yàn)?，所以，所?.7證明從而有可得因?yàn)榫仃?/p>

5、的特征值最多只有有限個(gè)，因此存在有無窮多個(gè)，使得-12-由得結(jié)論可得，，令則由上式得，因?yàn)橹袩o窮多個(gè)但是由于都是多項(xiàng)式，因此式對一切；特別，當(dāng)令時(shí)有故證明之.例10、已知和為三階可逆矩陣，且，，求.解經(jīng)計(jì)算可得，所以.1.8證明由于所以又因此有當(dāng)可逆時(shí)，則，所以；當(dāng)不可逆時(shí)，則，此時(shí)用矩陣，得-12-因?yàn)榫仃嚨奶卣髦底疃嘀挥杏邢迋€(gè)，因此存在無窮多個(gè)使得從而有令，，所以有由此可得存在無窮多個(gè)使得上式成立，而都是多項(xiàng)式，因此上式對一切都成立，取代入式時(shí)，有.1.9伴隨矩陣的特征值設(shè)矩陣；當(dāng)為降秩矩陣時(shí)，那么伴隨矩陣的個(gè)特征值至少有個(gè)為0，而且另一個(gè)不等于零的特征值若存在，則

6、等于.證明因?yàn)闉闈M秩矩陣，所以為可逆矩陣也即，此時(shí)矩陣的特征值均不為零，且的個(gè)特征值為，再由可得，伴隨矩陣有個(gè)特征值為；①當(dāng)秩時(shí)，此時(shí)，秩，所以因此可推得0,0，…,0為伴隨矩陣的特征值此時(shí)結(jié)論成立.②當(dāng)秩時(shí)，此時(shí)，秩，那么設(shè)的特征值為由若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形知，存在可逆矩陣，使得-12-，其中為的全部特征值因?yàn)?，不妨設(shè)則上式為從而.例11、設(shè)為階可逆矩陣，為的伴隨矩陣，為階單位矩陣，若有特征值，則必有特征值什么?解由性質(zhì)知，有特征值，必有特征值，從而必有特征值+1.1.10如果是可逆矩陣，且證明因?yàn)?，則存在可逆矩陣，使得把上式兩邊同時(shí)取行列式得，又由于可逆，故，從而，即也是可逆的

7、，所以，由，則因此因?yàn)椋瑒t把兩端同時(shí)乘以得，所以，.例12、設(shè)、為三階相似矩陣，的特征值為1，1，3，求.-12-解因?yàn)榈奶卣髦禐?，1，3，故，所以的特征值為，又因?yàn)?，所以，所以的特征值?，3，1，所以.1.11如果是可逆矩陣，且證明由題中矩陣合同，因此存在可逆矩陣，使，等式兩邊分別取行列式，得因?yàn)槭强赡婢仃?，所以，從而，而又因?yàn)椋顒t=，從而，故，從而所以，所以也合同.2.某些特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)2.1若是可逆的對稱矩陣，則它的伴隨矩陣也是可逆的對稱矩陣a.已知數(shù)量矩陣，它的伴隨矩陣也是數(shù)量矩陣；b.若對角矩陣是可逆