分塊矩陣_精品文檔

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第一章矩陣的分塊和分塊矩陣的定義設(shè)A是數(shù)域K上的矩陣，B是K上矩陣，將A的行分割r段，每段分別包含個(gè)行，又將A的列分割為s段，每段包含個(gè)列。A=于是A可用小塊矩陣表示如下：，其中是矩陣。對(duì)B做類(lèi)似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一樣。于是B可以表示為B=其中是的矩陣。這種分割法稱(chēng)為矩陣的分塊。二．分塊矩陣加法和乘法運(yùn)算設(shè)為同型矩陣（行和列數(shù)分別相等）。若采用相同的分塊法。A=B=則可以直接相加乘法:設(shè)，則C有如下分塊形式：C=，其中是矩陣，且定義稱(chēng)數(shù)域K上的分塊形式的n階方陣A=為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中為階方陣（），其余位置全是小塊零矩陣。2、分塊矩陣的一些簡(jiǎn)單基本性質(zhì)

1命題階準(zhǔn)對(duì)角矩陣有如下性質(zhì)：（1）、對(duì)于兩個(gè)同類(lèi)型的n階準(zhǔn)對(duì)角矩陣（其中同為階方陣），A=B=，有；AB=（2）、；（3）、A可逆等價(jià)于可逆，且。第二章利用分塊矩陣計(jì)算行列式1　引理　　設(shè)矩陣H=或H=其中A1,A2,…,As是實(shí)矩陣，且均為方陣,則|H|=|A1||A2|…|As|2　利用分塊矩陣計(jì)算行列式設(shè)A、B分別為m與n階方陣.計(jì)算行列式=2·1　矩陣A或B可逆時(shí)行列式|H|的計(jì)算命題1　設(shè)A、B分別為m與n階方陣.證明:(1)當(dāng)A可逆時(shí),有=（2)當(dāng)B可逆時(shí),有=證　(1)根據(jù)分塊矩陣的乘法,有由引理知,兩邊取行列式即得(1).(2)根據(jù)分塊矩陣的乘法,有

2兩邊取行列式即得(2).注意:利用命題1解題時(shí),要注意條件:矩陣A或B可逆.推論1　設(shè)A,B,C,D分別是m,n,n×m和m×n矩陣.證明(1)（3）(2)|A-DC|.(4)證明　只需要在命題1的(1)中令A(yù)=Em,即得(3);在(2)中令B=En,即得(4).推論2　C,D分別是n×m和m×n矩陣.證明：（5）證明：證明　在推論1的(3)中,令B=En,在(4)中,令A(yù)=Em,即得(5).例1　計(jì)算下面2n階行列式||=(a≠0)解　令A(yù)=,B=，C=,D=且都為n階方陣.由于a≠0,故A為可逆方陣.又易知　從而由命題1中(1)得||=例2　計(jì)算行列式(1),(ai≠0,i=1,2,…,n);

3（2）解　(1)設(shè)Q=，其中A=(),B=,　C=,D=因?yàn)閍i≠0,i=1,2,…,n,所以B是可逆矩陣.又易知從而由命題1中的(2)得=.=(2)設(shè)其中B=(c),Ｃ=,Ｄ＝由于CD==從而由推論1知,Q=2.2　矩陣A=B,C=D時(shí)行列式|H|的計(jì)算命題2　設(shè)A,C是兩個(gè)n階方陣.則　　證　根據(jù)行列式的性質(zhì)和引理,有==例3　計(jì)算行列式.

4D=解　這道題看似簡(jiǎn)單,但如果方法選擇不佳,做起來(lái)并不輕松.這里設(shè)由命題2知D====(X+Y+Z)(-X+Y-Z)(X+Y-Z)(-X+Y+Z)2.3　當(dāng)A與C或者B與C可交換時(shí)行列式|H|的計(jì)算命題3　設(shè)A,B,C,D都是n階方陣.(1)如果AC=CA,則==(2)如果BC=CB,則=例4　計(jì)算例2所給的2n階行列式.解　設(shè)A,C如例2,則|=而AC=CA,由命題3知:==注意:①這里并不需要a≠0的條件.②在利用命題3計(jì)算高階行列式時(shí),如果A和C(或B和C)有一個(gè)是n階單位矩陣或者是n階數(shù)量矩陣時(shí),那么計(jì)算方法會(huì)更簡(jiǎn)便.3　矩陣H被分成兩個(gè)特殊矩陣的和時(shí)計(jì)算行列式|H|命題4　設(shè)A為n階可逆方陣,α與β均為n維列向量.則=證　因?yàn)?7)(8)

5由引理,(7)和(8)兩邊各取行列式,并由于故由(7)和(8)得==即　=注意:在利用這個(gè)命題計(jì)算n階行列式時(shí),需要根據(jù)具體情況,把原行列式的元素組成的矩陣分成兩項(xiàng),其中一項(xiàng)是n階可逆矩陣A,該矩陣一般選為對(duì)角矩陣,則其行列式和逆矩陣比較容易求出;另一項(xiàng)是n維列向量α與β組成的乘積這種分法是利用命題4計(jì)算n階行列式的難點(diǎn),它需要具有較強(qiáng)的觀察能力.例5　計(jì)算下列n階行列式:①D=②D=解?、倭睢=α=則有顯然有D=|A+|.再由于|A|=(-1)·n!,且=(1,2,…,n)-n從而由命題4知:

6D=|A+|=|A|(1+)=②令A(yù)=則有　==且D=|A+|再由于|A|=,且=從而由命題4知:D=|A+|=|A|(1+)=第三章分塊矩陣在證明矩陣秩的性質(zhì)上的應(yīng)用引理1矩陣乘積的秩不大于每一個(gè)因子的秩，兩個(gè)因子中有一個(gè)是可逆的，它們乘積的秩等于另一個(gè)因子的秩。引理2秩A+秩B≤秩引理3秩=秩=秩A+秩B引理4秩=秩引理5秩(A+B)≤秩A+秩B性質(zhì)1秩(A+B)≤秩[AB]≤秩A+秩B。其中A,B均為m×n矩陣。證明因?yàn)?

7于是由引理1得秩(A+B)=秩秩=秩[AB]又因?yàn)橹戎扔谑怯梢?及3得秩[AB]=秩秩A+秩B綜上證明即得秩(A+B)≤秩[AB]≤秩A+秩B證畢。性質(zhì)2設(shè)A為s×n矩陣，則有，秩()-秩()=n-s證明因?yàn)?于是由引理1、3、4得秩=秩=秩()+n(1)又因?yàn)?同理可得秩=秩=秩()+s（2）（1）、（2）式相減即得秩()-秩()=n-s證畢。性質(zhì)3設(shè)A為m×n矩陣，是從A中取s行得到的矩陣，則秩≥秩A+s-m證明不妨設(shè)sA是A的前s行，而后m-s行構(gòu)成的矩陣為B，則A==+于是由引理5得秩A≤秩+秩=秩+m-s證畢。性質(zhì)4設(shè)A為m×n矩陣，B是A的一個(gè)s×t矩陣，則秩B≥秩A+s-m證明不妨設(shè)B位于A的左上角，且設(shè)A==+

8于是由引理5得秩A≤秩+=秩+秩由性質(zhì)3秩秩B+m–s又因?yàn)橹萵-t所以，秩A≤秩B+m-s+t-n，即，秩B≥秩A+s+t-m–n證畢。性質(zhì)5已知，秩(AB)=秩B，試證對(duì)任意可右乘矩陣C，有秩(ABC)=秩(BC)證明由引理1得，秩(ABC)≤秩(BC)，因?yàn)?于是由引理1、4得秩(AB)+秩(BC)≤秩=秩=秩=秩(ABC)+秩B從而有，秩(ABC)≥秩(AB)+秩(BC)-秩B又已知，秩(AB)=秩B，代入上式得，秩(ABC)≥秩(BC)所以，秩(ABC)=秩(BC)證畢。推論設(shè)A為n階矩陣，證明秩=秩=秩=證明因?yàn)閚=秩E=秩≥秩A≥秩≥秩≥秩≥0,于是必有正整數(shù)k(0≤k≤n)使，秩=秩，由性質(zhì)5得，秩=秩=秩=性質(zhì)6設(shè)A,B,C,D皆為n階矩陣，AC=CA,AD=CB,且0,若G=則有，n≤秩G<2n。證明因?yàn)锳≠0,所以秩G≥n，且存在，又=所以==又因?yàn)?D-CBD-=D-D=0從而G=0，因此，秩G<2n，又A≠0,所以，秩G≥n，綜上得證。利用分塊矩陣證明矩陣秩的性質(zhì)，一般采用兩種方法，一種是用已知矩陣作為元素拼成高階矩陣來(lái)證明，如性質(zhì)1、2、5、6；另一種方法是將已知矩陣拆成低階矩陣來(lái)證明，如性質(zhì)3、4。這兩種方法在證明矩陣秩的性質(zhì)時(shí)都是很有效的，幾乎所有的矩陣秩的性質(zhì)，都可用分塊矩陣來(lái)證明。

9第四章分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用　　對(duì)矩陣進(jìn)行分塊是處理階數(shù)較高的矩陣時(shí)常用的方法,我們把大矩陣看成由一些小矩陣組成,在運(yùn)算中,把這些小矩陣當(dāng)作數(shù)一樣處理,從而把高階矩陣化為低階矩陣來(lái)運(yùn)算,這樣能很快解決問(wèn)題。分塊矩陣的初等變換在線性代數(shù)中有非常廣泛的應(yīng)用。下面來(lái)討論分塊矩陣的初等變換及在線性代數(shù)一些方面應(yīng)用。本文中我們主要以2×2分塊矩陣為例,來(lái)對(duì)廣義初等矩陣作定義。定義1　對(duì)某個(gè)單位矩陣作分塊,對(duì)它進(jìn)行兩行(列)對(duì)換;某一行(列)左乘(右乘)一個(gè)矩陣P;一行(列)加上另一行(列)的P(矩陣)倍數(shù),得到的以下五類(lèi)分塊的矩陣,即稱(chēng)為廣義的初等矩陣定理1　用廣義初等矩陣左乘(或右乘)乘某一矩陣,相當(dāng)于對(duì)該矩陣作分塊的行(或列)的初等變換。定理2廣義初等矩陣都是可逆的,且有==,===定理3對(duì)一個(gè)分塊矩陣A作一次分塊矩陣的初等行(列)變換，相當(dāng)于用一個(gè)相應(yīng)的分塊初等矩陣左(右)乘A。2、分塊矩陣初等變換在線性代數(shù)中一些應(yīng)用命題1　設(shè)A,B為任意兩個(gè)n階方陣,證明AB與BA有相同的特征多項(xiàng)式證明:由分塊矩陣乘法知=兩邊取行列式得:=:(1)=兩邊取行列式得:=:…(2)比較(1)(2)得|λE-AB|=|λE-BA|故AB與BA有相同的特征多項(xiàng)式。命題2　設(shè)A是n階方陣且滿足=A,則rank(A)+rank(A-E)=n證明:對(duì)以下分塊矩陣作廣義初等變換得

10故rank(A-E)+rank(A)=n命題3　如果方陣A與B相似,C與D相似,則方陣與也相似。證明:因A與B相似,C與D相似,故存在非奇異矩陣X,Y,使B=,D=因===而==故命題得證。命題4　設(shè)n階矩陣W分塊為W=,則(1)當(dāng)A為r階可逆矩陣時(shí),|W|==|A|此時(shí)如再有D-CA-1B可逆,則W可逆,且==(2)當(dāng)D為n-r階可逆矩陣時(shí),|W|==|D|此時(shí)如果再有可逆,則W可逆,且==證(1)由=

11得|W|=|A|·|D-CA-1B|。顯然,此時(shí)如果再有可逆,則W可逆,且由(a)兩邊取逆得=按分塊乘法展開(kāi)右端,立得要證結(jié)果。(2)由=得|W|=|D|·|A-BD-1C|,顯然如再有A-BD-1C可逆,則W可逆且=按分塊乘法展開(kāi)右端,立得要證結(jié)果。特例:(1)當(dāng)B=0,C=0,A和D都可逆時(shí)有=(2)當(dāng)B0,C=0,A和D都可逆時(shí)有=(3)當(dāng)B=0,C0,A和D都可逆時(shí)有=例1求矩陣A=的可逆矩陣解設(shè)P=則A=→→→→故=又=

12所以=例2:設(shè)M=,求M的逆解:令A(yù)=,B=C=,D=,則很容易求出=,,-B====第五章利用分塊求矩陣的逆當(dāng)我們求矩陣得逆時(shí),對(duì)于行數(shù)，列數(shù)較高的矩陣時(shí),求它的逆比較復(fù)雜,在這節(jié)我們用一種新的方法來(lái)求它的逆,即是運(yùn)用分塊矩陣.

13求出非奇異分塊矩陣A的逆得相應(yīng)子塊，即用相應(yīng)得分塊形式給出分塊矩陣得逆，有時(shí)很有用。可以采用各種不同的，但彼此等價(jià)的方式來(lái)求分塊矩陣的逆—假定的某些子矩陣及也是非奇異的。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)A是如下的分塊，其中，，的相應(yīng)分塊形式有一個(gè)有用的表示式，其中，假定所有有關(guān)的逆存在?；蛘撸靡话愕闹笜?biāo)集記號(hào)，可以記以及還假定有關(guān)的逆存在。還可以寫(xiě)出其余的表示式。注意：是的子矩陣，而是的一個(gè)子矩陣的逆，并且這兩個(gè)矩陣一般不同?！?設(shè)A是一個(gè)對(duì)角矩陣，它有以下的性質(zhì)（1）；（2）設(shè)其中是同階的方陣則（3）可逆的充要條件是都可逆，并且當(dāng)可逆時(shí)例：設(shè)

14求。解：把分塊成因，所以可逆，且均可逆，所以因?yàn)樗酝ㄋ愕盟浴?.特殊分塊矩陣的逆陣

15（1）如果階方陣P可以分塊為其中都是方陣，則P可逆的充要條件是都可逆；且當(dāng)P可逆時(shí)事實(shí)上，由拉普拉斯展開(kāi)定理知,故P可逆的充要條件是都可逆。當(dāng)P可逆時(shí)，設(shè)的分塊矩陣為其中是待定子塊。因?yàn)楣式獾靡虼?2)類(lèi)似地，如果階方陣可以分塊成其中都是方陣，則P可逆的充要條件是都可逆；且當(dāng)P可逆時(shí)例：設(shè)數(shù)域F上的分塊矩陣，若皆可逆，則T也可逆；并求其逆矩陣。證明：因?yàn)樽⒁獾?/p>

16=,=.因此=是可逆矩陣，且其逆矩陣=．這個(gè)求逆公式叫做分塊矩陣的Schur－Frobenius求逆公式。當(dāng)D可逆時(shí)也有相應(yīng)的類(lèi)似結(jié)果。第六章分塊矩陣相似的條件在這一節(jié)我們來(lái)用分塊矩陣的相似解決矩陣相似的一些基本性質(zhì).§1.相似矩陣及其性質(zhì)定義1：設(shè)為階分塊矩陣，若存在可逆分塊矩陣，使得則稱(chēng)相似于，記作。對(duì)進(jìn)行矩陣的積運(yùn)算稱(chēng)為對(duì)進(jìn)行相似變換，可逆分塊矩陣稱(chēng)為把變成的相似因子陣。相似是分塊矩陣間的一種特殊的等價(jià)關(guān)系，即兩個(gè)相似分塊矩陣是等價(jià)分塊矩陣；反之不然。這就是說(shuō)相似關(guān)系具有一下性質(zhì)：1)反身性；2）對(duì)稱(chēng)性若,則；3）傳遞性。設(shè)由定義還可得到相似矩陣的以下運(yùn)算性質(zhì)：1）2）3）4）其中中的任意一個(gè)多項(xiàng)式。

17特別有。5）若可逆，則特別地，若可逆，并令則（2）式中的k可取任何整數(shù)。定理1兩個(gè)對(duì)角矩陣相似的充要條件為對(duì)角線上的元素相同，只是排列順序不同。證明：設(shè)A，B是兩個(gè)對(duì)角矩陣且A相似于B，則由相似矩陣的性質(zhì)知，存在可逆矩陣X，使得，即于是有又由A,B為對(duì)角矩陣知，上式成立的充要條件是對(duì)角線上元素相同，僅僅排列順序不同。定義2設(shè)是定義在全體階分塊矩陣聚合上的函數(shù)，若對(duì)中的任意兩個(gè)相似矩陣A和B，總有，則稱(chēng)為相似不變量。定理2矩陣的行列式是相似不變量。證明：設(shè)，則存在可逆矩陣X，使得，于是這說(shuō)明行列式是相似不變量。第七章矩陣分塊的一些其他簡(jiǎn)單應(yīng)用1利用矩陣分塊證明矩陣列(行)向量線性無(wú)關(guān)性、線性相關(guān)性命題1　矩陣A的列線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是方程組AX=0只有零解·證　令A(yù)=,其中(i=1,2,…,k)是A的列向量,且(ai為實(shí)數(shù),i=1,2,…k)

18即=0也即A=0若A1,A2,…,Ak線性無(wú)關(guān),則有a1=a2=…=ak=0,AX=0只有零解,反之亦成立·由命題1,A的行線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是AτX(jué)=0只有零解·例　B列向量線性無(wú)關(guān),BA=C,求證:C列線性無(wú)關(guān)的充要條件為A列線性無(wú)關(guān)·證　充分性·要使CX=0,即B(AX)=0,記AX=Y,則BY=0,∵B列無(wú)關(guān),須Y=0,即AX=0,又A列無(wú)關(guān),須X=0,從而C列無(wú)關(guān).必要性·要使AY=0,兩邊左乘B,則BAY=0,即CY=0,∵C列無(wú)關(guān),∴須Y=0,從而A列無(wú)關(guān)·推論　設(shè)≠0,(1)A的列線性相關(guān)(即R(A)

19=σ(αn)=所以,σ關(guān)于α1,α2,…,αn的矩陣為其中　A1=A2=2.　設(shè)An為分塊對(duì)角形矩陣A=則　,…,As的所有特征根就是A的全部特征根.證明:將單位矩陣In作成與A完全相同方式的矩陣,即:I=其中是與Ai同階單位矩陣于是:=det()det()det()推論:設(shè)V是數(shù)域F上n維向量空間,W1,W2,…,Ws都是V的不變子空間,且V=σ∈L(V),則σ關(guān)于V的某一基的矩陣為形式,且A1,A2,…,As的所有特征根即是σ的全部特征根.