2022年全國(guó)統(tǒng)一高考甲卷文科數(shù)學(xué)試卷及答案

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2022年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。51．設(shè)集合A?{?2，?1，0，1，2}，B?{x|0x?}，則A?B?()2A．{0，1，2}B．{?2，?1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：則()A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差3．若z?1?i，則|iz?3z|?()A．45B．42C．25D．224．如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為()第1頁共15頁

1A．8B．12C．16D．20??5．將函數(shù)f(x)?sin(?x?)(??0)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C，若C關(guān)于32y軸對(duì)稱，則?的最小值是()1111A．B．C．D．64326．從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()1122A．B．C．D．5353x?x??7．函數(shù)f(x)?(3?3)cosx在區(qū)間[?，]的圖像大致為()22A．B．第2頁共15頁

2C．D．b8．當(dāng)x?1時(shí)，函數(shù)f(x)?alnx?取得最大值?2，則f?（2）?()x11A．?1B．?C．D．1229．在長(zhǎng)方體ABCD?ABCD中，已知BD與平面ABCD和平面AABB所成的角均為30?，1111111則()A．AB?2ADB．AB與平面ABCD所成的角為30?11C．AC?CB1D．BD與平面BBCC所成的角為45?11110．甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2?，側(cè)面積分別為S和S，甲乙SV甲甲體積分別為V和V．若?2，則?()甲乙SV乙乙510A．5B．22C．10D．422xy111．已知橢圓C:??1(a?b?0)的離心率為，A，A分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為2212ab3?????????C的上頂點(diǎn)．若BA?BA??1，則C的方程為()122222xyxyA．??1B．??1181698222xyx2C．??1D．?y?1322mmm12．已知9?10，a?10?11，b?8?9，則()第3頁共15頁

3A．a(chǎn)?0?bB．a(chǎn)?b?0C．b?a?0D．b?0?a二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。????13．已知向量a?(m,3)，b?(1,m?1)．若a?b，則m?．14．設(shè)點(diǎn)M在直線2x?y?1?0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在?M上，則?M的方程為．22xy15．記雙曲線C:??1(a?0,b?0)的離心率為e，寫出滿足條件“直線y?2x與C無公22ab共點(diǎn)”的e的一個(gè)值．AC16．已知?ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，?ADB?120?，AD?2，CD?2BD．當(dāng)取得最A(yù)B小值時(shí)，BD?．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)．為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？22n(ad?bc)附：K?．(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)P(K2k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.6352Sn18．（12分）記S為數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和．已知?n?2a?1．nnnn（1）證明：{a}是等差數(shù)列；n（2）若a，a，a成等比數(shù)列，求S的最小值．479n19．（12分）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒．包裝盒如圖所示：底面ABCD是邊長(zhǎng)為8（單位：cm)的正方形，?EAB，?FBC，?GCD，?HDA均為正三角第4頁共15頁

4形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直．（1）證明：EF//平面ABCD；（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．3220．（12分）已知函數(shù)f(x)?x?x，g(x)?x?a，曲線y?f(x)在點(diǎn)(x，f(x))處的切11線也是曲線y?g(x)的切線．（1）若x??1，求a；1（2）求a的取值范圍．221．（12分）設(shè)拋物線C:y?2px(p?0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p,0)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，|MF|?3．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線MD，ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為?，?．當(dāng)???取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）?2?t?x?,22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為?6(t為參數(shù)），曲線C2的??y?t?2?s?x??,參數(shù)方程為?6(s為參數(shù)）．??y??s第5頁共15頁

5（1）寫出C的普通方程；1（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為32cos??sin??0，求C與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及C與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．3132[選修4-5：不等式選講]（10分）22223．已知a，b，c均為正數(shù)，且a?b?4c?3，證明：（1）a?b?2c3；11（2）若b?2c，則?3．a(chǎn)c第6頁共15頁

62022年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（甲卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A2．B3．D4．B．5．C6．C7．A8．B9．D10．C11．B12．A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。313．?．42214．(x?1)?(y?1)?5．15．2(e?(1，5]內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足題意）．16．3?1．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)．為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)第7頁共15頁

7A24020B21030（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？22n(ad?bc)附：K?．(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)P(K2k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【分析】（1）根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)直接計(jì)算即可；（2）由題設(shè)數(shù)據(jù)代入公式直接計(jì)算即可得出結(jié)論．【解答】（1）A公司一共調(diào)查了260輛車，其中有240輛準(zhǔn)點(diǎn)，故A公司準(zhǔn)點(diǎn)的概率為24012?；260132107B公司一共調(diào)查了240輛車，其中有210輛準(zhǔn)點(diǎn)，故B公司準(zhǔn)點(diǎn)的概率為?；2408（2）由題設(shè)數(shù)據(jù)可知，準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)共450輛，未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)共50輛，A公司共260輛，B公司共240輛，22500?(240?30?210?20)?K??3.2?2.706，260?240?450?50?有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率計(jì)算以及獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2Sn18．（12分）記S為數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和．已知?n?2a?1．nnnn（1）證明：{a}是等差數(shù)列；n（2）若a，a，a成等比數(shù)列，求S的最小值．479n【分析】（1）由已知把n換為n?1作差可得遞推關(guān)系從而證明，（2）由a，a，a成等比數(shù)列，求出首項(xiàng)，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式找出a正負(fù)分界點(diǎn)計(jì)479n算即可．2【解答】（1）證明：由已知有：2S?n?2na?n?①，nn2把n換成n?1，2S?(n?1)?2(n?1)a?n?1?②，n?1n?1②?①可得：2a?2(n?1)a?2na?2n，n?1n?1n第8頁共15頁

8整理得：a?a?1，n?1n由等差數(shù)列定義有a為等差數(shù)列；n2（2）由已知有a7?a4?a9，設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為x，由（1）有其公差為1，2故(x?6)?(x?3)(x?8)，解得x??12，故a??12，1所以a??12?(n?1)?1?n?13，n故可得：a?a?a???a?0，a?0，a?0，123121314(?12?0)?13故S在n?12或者n?13時(shí)取最小值，S?S???78，n12132故S的最小值為?78．n19．（12分）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒．包裝盒如圖所示：底面ABCD是邊長(zhǎng)為8（單位：cm)的正方形，?EAB，?FBC，?GCD，?HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直．（1）證明：EF//平面ABCD；（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．【分析】（1）將幾何體補(bǔ)形之后結(jié)合線面平行的判斷定理即可證得題中的結(jié)論；（2）首先確定幾何體的空間特征，然后結(jié)合相關(guān)的棱長(zhǎng)計(jì)算其體積即可．【解答】（1）證明：如圖所示，將幾何體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，做EE??AB于點(diǎn)E?，做FF??BC于點(diǎn)F?，由于底面為正方形，?ABE，?BCF均為等邊三角形，故等邊三角形的高相等，即EE??FF?，第9頁共15頁

9由面面垂直的性質(zhì)可知EE?，F(xiàn)F?均與底面垂直，則EE?//FF?，四邊形EE?F?F為平行四邊形，則EF//E?F?，由于EF不在平面ABCD內(nèi)，E?F?在平面ABCD內(nèi)，由線面平行的判斷定理可得EF//平面ABCD．（2）解：易知包裝盒的容積為長(zhǎng)方體的體積減去四個(gè)三棱錐的體積，其中長(zhǎng)方體的高AA?EE??43，13長(zhǎng)方體的體積V?8?8?43?2563cm，1113233一個(gè)三棱錐的體積V??(?4?4)?43?cm，23233236403則包裝盒的容積為V?V?4V?2563?4??3cm．12333220．（12分）已知函數(shù)f(x)?x?x，g(x)?x?a，曲線y?f(x)在點(diǎn)(x，f(x))處的切11線也是曲線y?g(x)的切線．（1）若x??1，求a；1（2）求a的取值范圍．【分析】（1）由題意結(jié)合函數(shù)的切線方程即可確定實(shí)數(shù)a的值；（2）由題意結(jié)合函數(shù)圖象即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．2【解答】（1）由題意可得f?(x)?3x?1，則切線的斜率k?f?(?1)?2，第10頁共15頁

10且f(?1)?0，故切線方程為y?2(x?1)，即2x?y?2?0，由g?(x)?2x?2可得x?1，則切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1?a)，由于切點(diǎn)在直線2x?y?2?0上，故2?(1?a)?2?0，解得a?3．2（2）由題意可得f?(x)?3x?1，3當(dāng)x??時(shí)，f?(x)?0，f(x)單調(diào)遞增，333當(dāng)??x?時(shí)，f?(x)?0，f(x)單調(diào)遞減，333當(dāng)x?時(shí)，f?(x)?0，f(x)單調(diào)遞增，3且函數(shù)的零點(diǎn)為x?1，x??1，x?0，123繪制函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，觀察可得，當(dāng)a??1時(shí)，函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)在點(diǎn)(1,1)處有公共點(diǎn)，函數(shù)存在公切線，當(dāng)a??1時(shí)，函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)不存在公切線，當(dāng)a??1時(shí)，函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)存在公切線，第11頁共15頁

11則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[?1，??)．221．（12分）設(shè)拋物線C:y?2px(p?0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p,0)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，|MF|?3．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線MD，ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為?，?．當(dāng)???取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．p【分析】（1）由已知求得|MD|?2p，|FD|?，則在Rt?MFD中，利用勾股定理得p?2，2則C的方程可求；88（2）設(shè)M，N，A，B的坐標(biāo)，寫出tan?與tan?，再由三點(diǎn)共線可得y??，y??；34yy12由題意可知，直線MN的斜率不為0，設(shè)l:x?my?1，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為MN關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y?y?4m，yy??4，求得tan?與1212tan?，再由兩角差的正切及基本不等式判斷，從而求得AB的方程．22p【解答】（1）由題意可知，當(dāng)x?p時(shí)，y?2p，得y?2p，可知|MD|?2p，|FD|?．M2222p22則在Rt?MFD中，|FD|?|DM|?|FM|，得()?(2p)?9，解得p?2．22則C的方程為y?4x；（2）設(shè)M(x，y)，N(x，y)，A(x，y)，B(x，y)，11223344y?yy?y41212由（1）可知F(1,0)，D(2,0)，則tan??k???，MN22x?xyyy?y121212?44y?0y?024又N、D、B三點(diǎn)共線，則k?k，即?，NDBDx?2x?224y?0y?024??，22yy24?2?2448得yy??8，即y??；244y28同理由M、D、A三點(diǎn)共線，得y??．3y1y?y4yy3412則tan????．x?xy?y?2(y?y)343412由題意可知，直線MN的斜率不為0，設(shè)l:x?my?1，MN第12頁共15頁

122?y?4x2由?，得y?4my?4?0，?x?my?141?41y?y?4m，yy??4，則tan???，tan???，12124mm?2?4m2m11?tan??tan?m2m1則tan(???)???，1?tan?tan?1111??2m?2mmm112當(dāng)m?0時(shí)，tan(???)??；當(dāng)m?0時(shí)，tan(???)無最大值，1142m?22m?mm12?當(dāng)且僅當(dāng)2m?，即m?時(shí)，等號(hào)成立，tan(???)取最大值，m24此時(shí)AB的直線方程為y?y?(x?x)，即4x?(y?y)y?yy?0，333434y?y3488?8(y?y)?8?812又?y?y?????8m?42，yy????16，3434yyyyyy121212?AB的方程為4x?42y?16?0，即x?2y?4?0．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）?2?t?x?,22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為?6(t為參數(shù)），曲線C2的??y?t?2?s?x??,參數(shù)方程為?6(s為參數(shù)）．??y??s（1）寫出C的普通方程；1（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為32cos??sin??0，求C與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及C與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．3132【分析】（1）消去參數(shù)t，可得C的普通方程；1（2）消去參數(shù)s，可得C的普通方程，化C的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，然后聯(lián)立直角23坐標(biāo)方程求解C與C、C與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．3132?2?t?x?,【解答】（1）由?6(t為參數(shù)），消去參數(shù)t，??y?t第13頁共15頁

132可得C的普通方程為y?6x?2(y0)；1?2?s?x??,（2）由?6(s為參數(shù)），消去參數(shù)s，??y??s2可得C的普通方程為y??6x?2(y0)．2由2cos??sin??0，得2?cos???sin??0，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為2x?y?0．3?1?y?2x?x??x?1聯(lián)立?2，解得?2或?，?y?6x?2?y?1?y?2?1?C與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(，1)與(1,2)；312?1?y?2x?x???x??1聯(lián)立?2，解得?2或?，?y??6x?2?y??1?y??2?1?C與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(?，?1)與(?1,?2)．322[選修4-5：不等式選講]（10分）22223．已知a，b，c均為正數(shù)，且a?b?4c?3，證明：（1）a?b?2c3；11（2）若b?2c，則?3．a(chǎn)c【分析】（1）由已知結(jié)合柯西不等式證明；（2）由已知結(jié)合（1）中的結(jié)論，再由權(quán)方和不等式證明．222【證明】（1）?a，b，c均為正數(shù)，且a?b?4c?3，2222222?由柯西不等式知，(a?b?4c)(1?1?1)(a?b?2c)，2即3?3(a?b?2c)，?a?b?2c3；1當(dāng)且僅當(dāng)a?b?2c，即a?b?1，c?時(shí)取等號(hào)；2（2）由（1）知，a?b?2c3且b?2c，11故0?a?4c3，則，a?4c32211129121由權(quán)方和不等式可知，???3，當(dāng)且僅當(dāng)?，即a?1，c?時(shí)取aca4ca?4ca4c2第14頁共15頁

14等號(hào)，11故?3．a(chǎn)c第15頁共15頁