高考數(shù)學(xué)概率知識點(diǎn)總結(jié)及解題思路方法

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高考數(shù)學(xué)概率知識點(diǎn)總結(jié)及解題思路方法考試內(nèi)容：數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn隨機(jī)事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一個發(fā)生的概率．相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率．獨(dú)立重復(fù)試驗．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn考試要求：數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（1）了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（2）了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率。數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（3）了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（4）會計算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生κ次的概率．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn§11.概率知識要點(diǎn)1.概率：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.2.等可能事件的概率：如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有年n個，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么，每一個基本事件的概率都是，如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率.3.①互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：

1.②對立事件：兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件.例如：從1～52張撲克牌中任取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件，因為其中一個不可能同時發(fā)生，但又不能保證其中一個必然發(fā)生，故不是對立事件.而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對立事件，因為其中一個必發(fā)生.注意：i.對立事件的概率和等于1：.ii.互為對立的兩個事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件.③相互獨(dú)立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨(dú)立事件.如果兩個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A·B)=P(A)·P(B).由此，當(dāng)兩個事件同時發(fā)生的概率P（AB）等于這兩個事件發(fā)生概率之和，這時我們也可稱這兩個事件為獨(dú)立事件.例如：從一副撲克牌（52張）中任抽一張設(shè)A：“抽到老K”；B：“抽到紅牌”則A應(yīng)與B互為獨(dú)立事件[看上去A與B有關(guān)系很有可能不是獨(dú)立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K對抽到紅牌”即“抽到紅桃老K或方塊老K”有，因此有.推廣：若事件相互獨(dú)立，則.注意：i.一般地，如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與與B，與也都相互獨(dú)立.ii.必然事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.

2iii.獨(dú)立事件是對任意多個事件來講，而互斥事件是對同一實驗來講的多個事件，且這多個事件不能同時發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨(dú)立事件.④獨(dú)立重復(fù)試驗：若n次重復(fù)試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果，則稱這n次試驗是獨(dú)立的.如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率：.4.對任何兩個事件都有第十二章-概率與統(tǒng)計考試內(nèi)容：抽樣方法.總體分布的估計．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn總體期望值和方差的估計．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn考試要求：數(shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（1）了解隨機(jī)抽樣了解分層抽樣的意義，會用它們對簡單實際問題進(jìn)行抽樣．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（2）會用樣本頻率分布估計總體分布．?dāng)?shù)學(xué)探索?版權(quán)所有www.delve.cn（3）會用樣本估計總體期望值和方差．§12.概率與統(tǒng)計知識要點(diǎn)一、隨機(jī)變量.1.隨機(jī)試驗的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.它就被稱為一個隨機(jī)試驗.2.

3離散型隨機(jī)變量：如果對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.若ξ是一個隨機(jī)變量，a，b是常數(shù).則也是一個隨機(jī)變量.一般地，若ξ是隨機(jī)變量，是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則也是隨機(jī)變量.也就是說，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量.設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為：ξ取每一個值的概率，則表稱為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列.……P……有性質(zhì)①；②.注意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.例如：即可以取0～5之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).3.⑴二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：[其中]于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項分布，記作～B（n·p），其中n，p為參數(shù)，并記.⑵二項分布的判斷與應(yīng)用.①二項分布，實際是對n次獨(dú)立重復(fù)試驗.關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項分布.

4②當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結(jié)果，此時可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗，利用二項分布求其分布列.4.幾何分布：“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為，事A不發(fā)生記為，那么.根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法分式：于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布列.123…k…Pqqp……我們稱ξ服從幾何分布，并記，其中5.⑴超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，則其中的次品數(shù)ξ是一離散型隨機(jī)變量，分布列為.〔分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定＜時，則k的范圍可以寫為k=0，1，…，n.〕⑵超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1≤n≤a+b），則次品數(shù)ξ的分布列為.⑶超幾何分布與二項分布的關(guān)系.設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數(shù)ξ服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)

5的分布列可如下求得：把個產(chǎn)品編號，則抽取n次共有個可能結(jié)果，等可能：含個結(jié)果，故，即～.[我們先為k個次品選定位置，共種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法]可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.二、數(shù)學(xué)期望與方差.1.期望的含義：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為……P……則稱為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡稱期望.數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.2.⑴隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：①當(dāng)時，，即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個常數(shù)本身.②當(dāng)時，，即隨機(jī)變量ξ與常數(shù)之和的期望等于ξ的期望與這個常數(shù)的和.③當(dāng)時，，即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機(jī)變量期望的乘積.ξ01Pqp⑵單點(diǎn)分布：其分布列為：.⑶兩點(diǎn)分布：，其分布列為：（p+q=1）

6⑷二項分布：其分布列為～.（P為發(fā)生的概率）⑸幾何分布：其分布列為～.（P為發(fā)生的概率）3.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機(jī)變量ξ的分布列為時，則稱為ξ的方差.顯然，故為ξ的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差.隨機(jī)變量ξ的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量ξ取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.越小，穩(wěn)定性越高，波動越小.4.方差的性質(zhì).⑴隨機(jī)變量的方差.（a、b均為常數(shù)）ξ01Pqp⑵單點(diǎn)分布：其分布列為⑶兩點(diǎn)分布：其分布列為：（p+q=1）⑷二項分布：⑸幾何分布：5.期望與方差的關(guān)系.⑴如果和都存在，則⑵設(shè)ξ和是互相獨(dú)立的兩個隨機(jī)變量，則⑶期望與方差的轉(zhuǎn)化：⑷（因為為一常數(shù)）.三、正態(tài)分布.（基本不列入考試范圍）

71.密度曲線與密度函數(shù)：對于連續(xù)型隨機(jī)變量ξ，位于x軸上方，ξ落在任一區(qū)間內(nèi)的概率等于它與x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分）的曲線叫ξ的密度曲線，以其作為圖像的函數(shù)叫做ξ的密度函數(shù)，由于“”是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.2.⑴正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機(jī)變量ξ的概率密度為：.（為常數(shù)，且），稱ξ服從參數(shù)為的正態(tài)分布，用～表示.的表達(dá)式可簡記為，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.⑵正態(tài)分布的期望與方差：若～，則ξ的期望與方差分別為：.⑶正態(tài)曲線的性質(zhì).①曲線在x軸上方，與x軸不相交.②曲線關(guān)于直線對稱.③當(dāng)時曲線處于最高點(diǎn)，當(dāng)x向左、向右遠(yuǎn)離時，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.④當(dāng)＜時，曲線上升；當(dāng)＞時，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.⑤當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.3.⑴標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量ξ的概率函數(shù)為

8，則稱ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.即～有，求出，而P（a＜≤b）的計算則是.注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的X取0時，有當(dāng)?shù)腦取大于0的數(shù)時，有.比如則必然小于0，如圖.⑵正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若～則ξ的分布函數(shù)通常用表示，且有.4.⑴“3”原則.假設(shè)檢驗是就正態(tài)總體而言的，進(jìn)行假設(shè)檢驗可歸結(jié)為如下三步：①提出統(tǒng)計假設(shè)，統(tǒng)計假設(shè)里的變量服從正態(tài)分布.②確定一次試驗中的取值是否落入范圍.③做出判斷：如果，接受統(tǒng)計假設(shè).如果，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計假設(shè).⑵“3”原則的應(yīng)用：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布則ξ落在內(nèi)的概率為99.7％亦即落在之外的概率為0.3％，此為小概率事件，如果此事件發(fā)生了，就說明此種產(chǎn)品不合格（即ξ不服從正態(tài)分布）.