冪級數(shù)及其收斂性

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powerseries冪級數(shù)及其收斂性1

11.定義如下形式的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為的冪級數(shù),的冪級數(shù).定義稱為冪級數(shù)2

22.收斂半徑和收斂域級數(shù)冪級數(shù)級數(shù)的收斂域3

3證阿貝爾(Abel)(挪威)1802–1829定理1（阿貝爾第一定理）則它在滿足不等式絕對收斂;發(fā)散.收斂,發(fā)散,如果級數(shù)則它在滿足不等式的一切x處如果級數(shù)的一切x處從而數(shù)列有界,即有常數(shù)M>0,使得4

4冪級數(shù)由(1)結(jié)論,這與所設(shè)矛盾.使級數(shù)收斂,則級數(shù)時(shí)應(yīng)收斂,但有一點(diǎn)x1適合5

5推論也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,則必有一個(gè)完全確冪級數(shù)絕對收斂;冪級數(shù)發(fā)散.冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.冪級數(shù)幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域如果冪級數(shù)不是僅在x=0一點(diǎn)收斂,定的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):6

6正數(shù)R稱為冪級數(shù)的規(guī)定問:如何求冪級數(shù)的收斂半徑?定義收斂半徑.收斂區(qū)間.冪級數(shù)(1)冪級數(shù)只在x=0處收斂,收斂區(qū)間(2)冪級數(shù)對一切x都收斂,收斂區(qū)間收斂區(qū)間連同收斂端點(diǎn)稱為冪級數(shù)的收斂域.7

7證且定理2設(shè)冪級數(shù)的所有系數(shù)冪級數(shù)由正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法,8

8收斂半徑冪級數(shù)絕對收斂;發(fā)散,從而發(fā)散.比值判別法則9

9冪級數(shù)收斂,從而級數(shù)絕對收斂.收斂半徑發(fā)散.收斂半徑則10

10例求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域:解冪級數(shù)11

11收斂.調(diào)和級數(shù),發(fā)散.收斂域?yàn)榻鈨缂墧?shù)收斂域收斂半徑12

12解冪級數(shù)13

13級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)因?yàn)樗詫?yīng)的數(shù)項(xiàng)級數(shù)也發(fā)散.當(dāng)x=4時(shí),故收斂域?yàn)閮缂墧?shù)14

14發(fā)散;收斂.故收斂域?yàn)榻膺€有別的方法嗎(0,1].即亦即時(shí)原級數(shù)收斂.冪級數(shù)15

15解是缺偶次冪的冪級數(shù).例求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域.去掉第一項(xiàng),所以,去掉第一項(xiàng),級數(shù)處處收斂.定義域?yàn)橐驗(yàn)榈谝豁?xiàng)lnx的所以,原級數(shù)的收斂域是冪級數(shù)比值判別法16

16例設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑分別為則冪級數(shù)的收斂半徑為()分析冪級數(shù)17

17討論冪級數(shù)的收斂域.解此級數(shù)是缺項(xiàng)的冪級數(shù),作變換,令級數(shù)變?yōu)樗氖諗堪霃疆?dāng)y=3時(shí),級數(shù)為發(fā)散.不滿足定理2的條件.冪級數(shù)18

18故y(≥0)的冪級數(shù)收斂域?yàn)橐虼?原冪級數(shù)收斂域?yàn)槭諗堪霃郊磧缂墧?shù)19

19思考確定函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域.解對任意固定的x,即用比較審斂法的極限形式:而級數(shù)是p=x的p–級數(shù),所以,當(dāng)n充分大時(shí),有發(fā)散.故級數(shù)的收斂域?yàn)閮缂墧?shù)收斂.20

20解冪級數(shù)練習(xí)21

21冪級數(shù)處處收斂.收斂發(fā)散22

221.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(1)加減法冪級數(shù)冪級數(shù)的性質(zhì)的收斂半徑各為R1和R2,23

23(2)乘法(其中(3)除法(相除后的收斂區(qū)間可能比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)冪級數(shù)24

242.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)冪級數(shù)定理3（阿貝爾第二定理）內(nèi)閉一致收斂證25

25則其和函數(shù)的端點(diǎn)處收斂,則其和函數(shù)在該端點(diǎn)單側(cè)連續(xù).冪級數(shù)如果冪級數(shù)在收斂區(qū)間證26

26則其和函數(shù)冪級數(shù)27

27冪級數(shù)則其和函數(shù)28

28解(1)求收斂域發(fā)散;收斂.故級數(shù)的求收斂域?yàn)槔齼缂墧?shù)收斂半徑29

29(2)求和函數(shù)冪級數(shù)30

30或者冪級數(shù)31

31例求冪級數(shù)的和函數(shù).解容易知道級數(shù)的收斂域冪級數(shù)設(shè)和函數(shù)為s(x),即則有32

32因此,此外,顯然有綜上,冪級數(shù)33

33解例冪級數(shù)34

34逐項(xiàng)求導(dǎo)積分得冪級數(shù)35

35冪級數(shù)36

36解容易知道,例冪級數(shù)37

37練習(xí)求的收斂域與和函數(shù).提示解令收斂域?yàn)楫?dāng)時(shí),收斂,當(dāng)時(shí),收斂,冪級數(shù)38

38又設(shè)(逐項(xiàng)求導(dǎo)即可得)和函數(shù)為(逐項(xiàng)求導(dǎo)即可得)設(shè)設(shè)冪級數(shù)39

39小結(jié)再對和函數(shù)積分(求導(dǎo)),求出原級數(shù)的和函數(shù).求和函數(shù)的一般過程是:首先找收斂半徑,再利用在收斂區(qū)間上冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)可逐項(xiàng)求導(dǎo)(積分),求得新的冪級數(shù)和函數(shù);最后冪級數(shù)40

40冪級數(shù)常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)41

41冪級數(shù)及其收斂性收斂半徑R冪級數(shù)的運(yùn)算代數(shù)、分析運(yùn)算性質(zhì)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念冪級數(shù)四、小結(jié)收斂點(diǎn)、收斂域、和函數(shù)一般求三種類型冪級數(shù)的收斂半徑,注意它們求法掌握冪級數(shù)的和函數(shù)的規(guī)律42

42思考題冪級數(shù)都是冪級數(shù).是非題非冪級數(shù)的形式為含有負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)不是冪級數(shù).43

43作業(yè)習(xí)題10-5(273頁)(A)1.(1)2.(2)(4)(6)(8)(9)3.(3)(4)4.(1)(2)(B)3.4.冪級數(shù)44