隔板法

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隔板法

1隔板法又稱(chēng)隔墻法、插板法，是處理名額分配、相同物體的分配等排列組合問(wèn)題的重要方法。隔板法就是在n個(gè)元素間的（n-1）個(gè)空中插入若干個(gè)（b）個(gè)板，可以把n個(gè)元素分成（b+1）組的方法。應(yīng)用隔板法必須滿(mǎn)足三個(gè)條件：（1）這n個(gè)元素必須相同（2）所分成的每一組至少分得一個(gè)元素（3）分成的組別彼此相異

2一、將n件相同物品（或名額）分給m個(gè)人（或位置），每人（或位置）必須有物品問(wèn)題例如：某校組建一球隊(duì)需16人，該校共10個(gè)班級(jí)，且每個(gè)班至少分配一個(gè)名額,共有幾種情況？解:C[（16-1），（10-1）]=C（15，9）=1816214400種

3歸納：

4練習(xí)、將20個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額分給18個(gè)班，每班至少1個(gè)名額，有多少種不同的分配方法？

5二、將n件相同物品（或名額）分給m個(gè)人（或位置），允許若干個(gè)人（或位置）為空的問(wèn)題.例2、將10個(gè)大小形狀完全相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，允許有盒子為空，但球必須放完，有多少種不同的方法？分析：本題中的小球大小形狀完全相同，故這些小球沒(méi)有區(qū)別，問(wèn)題等價(jià)于將小球分成三組，允許有若干組無(wú)元素，用隔板法.

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7歸納：

8練習(xí)：把8個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子，有多少種不同方法？

9應(yīng)用1．(1)12個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的盒子中，問(wèn)每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球的不同放法有多少種?(2)12個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的盒子中，每盒可空，問(wèn)不同的放法有多少種?(3)12個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的盒子中，要求每個(gè)盒子中的小球數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，問(wèn)不同的放法有多少種?

10解：(1)將12個(gè)小球排成一排，中間有11個(gè)間隔，在這11個(gè)間隔中選出3個(gè)，放上“隔板”，這樣每一種隔板的插法，就對(duì)應(yīng)了球的一種放法，即每一種從11個(gè)間隔中選出了3個(gè)間隔的組合對(duì)應(yīng)于一種放法，所以不同的放法有C（11，3）=165(種)。2)由隔板法可知：C(15,3)=455種。(3)解法一：用(1)的處理問(wèn)題的方法。將1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)小球放入編號(hào)為2、3、4的盒子中，將余下的6個(gè)小球放在4個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球，據(jù)(1)有C(5,3)=10(種)。解法(2)：用(2)的處理問(wèn)題的分法。將1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)小球分別放在編號(hào)為1、2、3、4的盒子中，將余下的2個(gè)小球放在四個(gè)盒子中，每盒允許有空盒，據(jù)(2)有C(5,3)=10(種)。

11隔板法1、4個(gè)相同的球放入3個(gè)不同的盒子中，不允許出現(xiàn)空盒有多少種不同的方法？2、某市從8個(gè)中學(xué)的籃球隊(duì)中選12人組成該市的中學(xué)生籃球代表隊(duì)，每校至少一人參加，名額分配方案共有多少種？3、從5個(gè)學(xué)校選出8名學(xué)生組成代表團(tuán)，每校至少有一人的選法種數(shù)是多少？4、變式：

12多面手問(wèn)題例：翻譯8人，其中3人只會(huì)英語(yǔ)，2人只會(huì)日語(yǔ)，還有3人英語(yǔ)、日語(yǔ)都會(huì)，現(xiàn)從這8個(gè)人中選取3名英語(yǔ)，2名日語(yǔ)翻譯，有多少種不同的選法？

13練習(xí)在10名工人中，有4人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車(chē)工，另外2人既能當(dāng)鉗工又能當(dāng)車(chē)工，現(xiàn)從10人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車(chē)工，有多少種不同的選法？