12.試求2+3+：~r4+-1+—1+—i+1~r~r的和？42005420051~T~，則題目所要求的等式可寫為:【分析與解】記％=3+——4+411+x一+-2005H11，而7H；-2+xi+J_1+X所以原式的和為1.評注：上面補充的兩例中體現(xiàn)了遞推和整體思想.2.試求1+2+3+4+―4+100的值？【分析與解】方法一：利用等差數列求和公式，（首項+末項）X項數+2=（1+100）X100+2=5050.2+3+4+5+—97+98+99+10099+98+97+96+…4+3+2+1,所以兩倍原式的和為101X100,那么原式的和為方法二：倒序相加，1+100+上下兩個數相加都是101,并且有100組,101X1004-2-5050.方法三：整數裂項（重點），原式=（1X2+2X2+3X2+4X2+…+100X2）+2=[1x2+2x(3-1)+3x(4-2)+4x(5-3)++100x(101-99)卜2=(+*2-+^*3--+*2-+4*^-^*5-+4*5--4*4++100x101--99^44)0-)h-2=100x101-^2=5050.3.試求IX2+2X3+3X4+4X5+5X6+…+99X100.【分析與解】方法一：整數裂項原式=(lX2X3+2X3X3+3X4X3+4X5X3+5X6X3+i+99X100X3)+3=[1X2X3+2X3X(4-D+3X4X(5-2)+4X5X(6-3)+5X6X(7-4)+-+99X100X(101-98)]4-3(1x2*3+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+4x5x6-3x4*5+5x6x7-4x5x6++99x100x101-98x99x100)4-3=99x100x1014-3=33x101x100
2=3333x100=333300.方程二：利用平方差公式「+22+3a42+…+/=〃2="X(〃+1)X(2〃+1)6原式：r+l+22+2+32+3+42+4+52+5+***+992+99=12+22+32+42+52+—+992+1+2+3+4+5+…+9999x100x19999x100=+62=328350+4950=333300.5.計算下列式子的值：0.1X0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+…+9.7X9.9+9.8x10.0【分析與解】這個題看上去是一個關于小數的問題，實際上我們可以先把它們變成整數，然后再進行計算.即先計算IX3+2x4+3><5+4x6+…+97x99+98X100。再除以100.方法一：再看每一個乘法算式中的兩個數，都是差2,于是我們容易想到裂項的方法.0.1X0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+—+9.7X9.9+9.8x10.0=(1X3+2X4+3X5+4X6+-+97X99+98X100)4-100=[(1X2+1)+(2X3+2)+(3X4+3)+(4X5+4)+???+(97X98+97)+(98X99+98)]4-100=[(1X2+2X3+3X4+4X5+…+97X98+98X99)+(1+2+3+4+…+97+98)]+100=(-X98X99X100+-X98X99)4-10032=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式進行計算.0.1X0.3+0.2X0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+—+9.7X9.9+9.8X10.0=(1X3+2X4+3X5+4X6+-+97X99+98X100)4-100=(l2-l+22-l+32-l+4-l+5-l+-+99-1)4-100=(1'+22+32+42+52+―+99-99)4-100=(-X99X100X199-99)+1006=16.5X199-0.99=16.5X200-16.5-0.99=3282.51評注：首先，我們要清楚數與數之間是相通的，小數的計算與整數的計算是有聯(lián)系的.下面簡單介紹一下整數裂項.1X2+2X3+3X4+―+(n-l)Xn
3=-X[lX2X3+2X3X3+3X4X3+—+(n-l)XnX3]3=-X{1X2X3+2X3X(4-D+3X4X(5-2)+…+(nT)Xn[n+l-(n-2)]}31Ix2x3-2x3xl+2x3x4-3x4x2+3x4x5+——x3-(n-1)xnx(n-2)+(n-1)x/?x(n4-1)=-x(n-1)x//x(n+1)6.計算下列式子的值：…/111、/11124x(1FH)—(下+—+-；)2x34x520x21I212+2212+22++102【分析與解】雖然很容易看出2x3-23'4x5-45……可是再仔細一看，并沒有什么效果,因為這不像分數裂項那樣能消去很多項.我們再來看后面的式子，每一項的分母容易讓我們想到公式l2+22+32+-+n2=-XnX(n+l)X(2n+l),于是我們又有612+22+32++〃2nx(n+l)(2n-l)減號前面括號里的式子有10項，減號后面括號里的式子也恰好有10項，是不是“一個對一個”呢?c,,1124x(++2x34x5=24x(=24x(11FF2x34x5111F2x34x520x211)-(3+20x211)-6x(12+2211、+i7)12+22++102111+1x2x32x3x520x21)-24x(,FF2x4x34x6x510x11x121)20x22x21=24x(2x32x4x3)+(■4x54x6x5)++(20x2120x22x21■)，11=24x(+2x44x6,,11=6x(++1x22x3=6x(1)116020x2210x1111■)7.計算下列式子的值:
4(1+-+-+-+234+—--)2+(-+1980122+，++，)2+(阜+51980125611—F-341+L+，)2+(\L519801234+198012/H198012)2++(198012)2+(]+LW++，)2345198012【分析與解】顯然直接求解難度很大，我們試著看看是否存在遞推的規(guī)律.顯然12+1=2;1,1,1(1+Q+(7)+(1+半=4；222(1+汾+(沁、(撲嗚+*(14+l4)2+(rl4)2+(ri)2+(l)2+(1+rri)=8;所以原式=198012X2=396024.習題計算17X18+18X19+19X20+-+29X30的值.提示：可有兩種方法，整數裂項，利用1到n的平方和的公式.答案：(29X30X31-16X17X18)4-3=29X10X31-16X17X6=7358.
5第二講數字謎綜合內容概述各種具有相當難度、求解需要綜合應用多方面知識的豎式、橫式、數字及數陣圖等類型的數字謎問題.典型問題1.ABCD表示一個四位數，EFG表示一個三位數，A,B,C,D,E,F,G代表1至9中的不同的數字.已知ABCD+EFG=1993,問：乘積ABCDXEFG的最大值與最小值相差多少？【分析與解】因為兩個數的和一定時，兩個數越緊接，乘積越大；兩個數的差越大，乘積越小.A顯然只能為1,則BCD+EFG=993,當ABCD與EFG的積最大時,ABCD、EFG最接近,則BCD盡可能小，EFG盡可能大，有BCD最小為234,對應EFG為759,所以有1234X759是滿足條件的最大乘積：當ABCD與EFG的積最小時，ABCD、EFG差最大,則BCD盡可能大，EFG盡可能小，有EFG最小為234,對應BCD為759,所以有1759X234是滿足條件的最小乘積；它們的差為1234X759—1759X234-(1000+234)X759一(1000+759)X234=1000X(759—234)=525000.2.有9個分數的和為1,它們的分子都是1.其中的5個是另外4個數的分母個3791133位數字都是5.請寫出這4個分數.【分析與解】1_（LLLL_L）=2xioi=mi。37911333x3x7x113x3x5x7x11需要將1010拆成4個數的和，這4個數都不是5的倍數，而且都是3X3X7X11的約數.因此,它們可能是3,7,9,11,21,33,77,63,99,231,693.經試驗得693+231+77+9=1010.所以，其余的4個分數是:J_J_J1_5'15,45*385[113.□□□□+1988=□□□□請在上面算式的每個方格內填入一個數字，使其成為正確的等式.就得【分析與解】1988=2X2X7X71=4X497,-+-=在等式兩邊同時乘上」一，124349711+59641988——.顯然滿足題意.1491又—+---351410兩邊同乘以,142就得11+49701988——.顯然也滿足.1420」一+」一=」一，」一+」一=」一均滿足.3053198812048094198815964.小明按照下列算式：乙組的數口甲組的數。1=對甲、乙兩組數逐個進行計算，其中方框是乘號或除號，圓圈是加號或減號他將計算結果填入表14-1的表中.有人發(fā)現(xiàn)表中14個數中有兩個數是錯的請你改正.問改正后的兩個數的和是多少？
6表14-1結\甲工0.6252TA1432.12325.054TT644系12213223.4J33T1.52917【分析與解】甲組的前三個數0.625,一，二都是小于1的數，2—與這三個數運算后，得5.05,3143251517174一，4一；不論減1還是加1后，這三個數都比2一大，而這是2—與小于1的數運算的結果，因64163232此可以猜想方框內是除號.現(xiàn)在驗算一下：172813152—上——X-=332-33226417工28￡1463152—X—二=3—32.14~32916162818814-0.625=-X-=一=4.0532517272—4-3=——.3232從上面四個算式來看，圓圈內填加號，這樣有三個結果是對的，而4上是錯的.16按照算式乙組的數+甲組的數+1*才有224-3+1=1-,顯然不為1.5,上面已認定3是正確的，因此，只有把2改為1.5,3121.54-3+1=1-,而1.5+0.625+1=3.4,1.54--+1=3.25.23由此可見，確定的算式*是正確的.515表中有兩個錯誤，4一應改為4一，2應改為1.5,16167改正后的兩個數的和是6—.165.圖14—3中有大、中、小3個正方形，組成了8個三角形.現(xiàn)在先把1,2,3,4分別填在大正方形的4個頂點上，再把L2,3,4分別填在中正方形的4個頂點上，最后把1,2,3,4分別填在小正方形的4個項點上.(1)能否使8個三角形頂點上數字之和都相等?如果能，請給出填數方法：如果不能，請說明理由.
7圖14-3(2)能否使8個三角形頂點上數字之和各不相同?如果能，請給出填數方法；如果不能，請說明理山.【分析與解】(1)無論怎樣填法，都不可以使八個三角形頂點上數字之和相等.事實上，假設存在某種填法使得八個三角形頂點上數字之和都相等，不妨設每個三角形頂點上數字之和為k.在計算八個三角形頂點上數字之和時，大正方形四個頂點上每個數字恰好使用過一次；中正方形四個頂點上每個數字各使用過三次；小正方形四個頂點上每個數字各使用過二次.因此，這八個三角形頂點上數字之和的總和為：8k=(l+2+3+4)+3X(l+2+3+4)+2X(1+2+3+4),即8k=60,k不為整數，矛盾，所以假設是錯誤的.(2)易知：不可能做到三角形的三個頂點上數字完全相同，所以三角形頂點上數字之和最小為1+1+2=4,最大為3+4+4=11.而4?11共8個數，于是有可能使得8個三角形頂點上數字之和各不相同，可如下構造，且填法不惟一.圖(a)和圖(b)是兩種填法.圖(a)圖(6)6.圖14—5中有11條直線.請將1至11這11個數分別填在11個圓圈里，使每一條直線上所有數的和相等.求這個相等的和以及標有*的圓圈中所填的數.
8【分析與解】表述1：設每行的和為S,在左下圖中，除了a出現(xiàn)2次，其他數字均只出現(xiàn)了1次，并且每個數字都出現(xiàn)了，于是有4s=(1+2+3+…+ll)+a=66+a；
9在右上圖中除了a出現(xiàn)5次，其他數字均只出現(xiàn)了1次，并且每個數字都出現(xiàn)了，于是有5s=（1+2+3+…11）+4a=66+4a.綜合以上兩式44s=66+a⑴55=66+4^(2)①義5-②X4得66-lla=0,所以a=6,則S=18.考慮到含有*的五條線，有4*+（1+2+3+4+…五條-t=5S=90.即4*-t=24,由t是1?11間的數且tW*,可知*=7,而每行相等的和S為18.表述2：如下圖所示，在每個圓圈內標上字母，帶有*的圓圈標為x,首先考慮以下四條直線：（h、f、a）,（i、g、a）,（x、d、b）,（j、e、c）,除了標有a的圓圈外，其余每個圓圈都出現(xiàn)了一次，而標有a的圓圈出現(xiàn)了兩次，設每條直線上數字之和為S,則有：（1+11）XII-?2+a=4S,即66+a=4S.再考慮以下五條直線：（h、f、a）,（i、g、a）,（j、x、a）,（e、d、a）,（c、b、a）,同理我們可得到66+4a=5S.66+a=45.綜合兩個等式《，可得a為6,每條直線上和S為18.66+4a=5s最后考慮含x的五條直線：（x、h）,（x,g、f）,（j、x、a）,（x、d,b）,（i、x、c）.其中除了x出現(xiàn)了5次，e沒有出現(xiàn)，其他數字均只出現(xiàn)了一次，于是可以得到：66+4x-e=5S=90,即4x-e=24,由e是1—11間的數且e#x可知x=7.即每行相等的和S為18,*所填的數為7.7.一個六位數，把個位數字移到最前面便得到一個新的六位數，再將這個六位數的個位數字移到最前面又得到一個新的六位數，如此共進行5次所得的新數連同原來的六位數共6個數稱為一組循環(huán)數.已知一個六位數所生成的一組循環(huán)數恰巧分別為此數的1倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求這個六位數.2.34S【分析與解】方法一：一=0.142857,-=0.285714,-=0.428571,-=0.571428,-=7777760.714285,-=0.857142.7對應有142857,285714,428571,571428,714285,857142,它們依次是142857的1、2、3、4、
105、6倍.且只用了1、4、2、8、5、7這6個數字，滿足題意.所以這個六位數為142857.方法二：首先可以確定最小的六位數的首位為1,不然2*****的6倍就不是六位數，于是不妨設這個六位數為labcde,那么6個六位數中必定存在一個數為abcdel.而個位數字1,只能由1X1,3義7或9X9得到.但是abcdel只能對應為labcdeX(2—6),所以只能是labcde義3得到.即H?cdel=la/?cdeX3.于是，我們不難遞推出d為5,c為8,b為2,a為4,所以這個六位數為142857.方法三：部分同方法二，abcde\-\abcdeX3.那么有abcdeX10+1=(100000+abcde)X3,解得abcde=42857.所以這個六位數為142857.
11第三講最值問題內容概述均值不等式，即和為定值的兩數的乘積隨著兩數之差的增大而減小.各種求最大值或最小值的問題，解題時宜首先考慮起主要作用的量，如較高數位上的數值，有時局部調整和枚舉各種可能情形也是必要的.典型問題1.有4袋糖塊，其中任意3袋的總和都超過60塊.那么這4袋糖塊的總和最少有多少塊？【分析與解】方法一：設這4袋為A、B、C、D,為使4袋糖塊的總和最少，則每袋糖應盡量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21塊糖.則當A、B、D三袋糖在一起時，為了滿足條件，D袋糖不少于21塊，驗證A、B、C、D這4袋糖依次有20,20,21,21時滿足條件，且總和最少.這4袋糖的總和為20+20+21+21=82塊.方法二：設這4袋糖依次有a、b、c、d塊糖，a+b+c>61①.a+b+d>61(2)^1一,有4,①+②+③+④得：3(a+b+c+d)2244,所以a+b+c+d》81—■，因為a+b+c+da+c+d>61?3b+c+d>61(4)均是整數，所以a+b+c+d的和最小是82.[a+b+c〉60①、…a+b+d〉60②評注：不能把不等式列為《_.如果這樣將①+②+③咆得到3(a+b+c+d)〉240,a+b+c+d>80,因為a+c+d〉60③[b+c+d〉60④a、b、c、d均是整數，所以a+b+c+d的和最小是81.至于為什么會出現(xiàn)這種情況.如何避免,希望大家自己解決.2.用1,3,5,7,9這5個數字組成一個三位數ABC和一個兩位數DE,再用0,2,4,6,8這5個數字組成一個三位數FGH和一個兩位數IJ.求算式ABCXDE-FGHXIJ的計算結果的最大值.【分析與解】為了使ABCXDE-FGHXIJ盡可能的大，ABCXDE盡可能的大，F(xiàn)GHXIJ盡可能的小.則ABCXDE最大時，兩位數和三位數的最高位都最大，所以為7、9,然后為3、5,最后三位數的個位為1,并且還需這兩個數盡可能的接近，所以這兩個數為751,93.則FGHXIJ最小時，最高位應盡可能的小，并且兩個數的差要盡可能的大，應為468X20.
12所以ABCXDE-FGHXIJ的最大值為751X93-468X20=60483.評注：類似的還可以算出FGHXIJ-ABCXDE的最大值為640X82-379X15=46795.2.將6,7,8,9,10按任意次序寫在一圓周上，每相鄰兩數相乘，并將所得5個乘積相加，那么所得和數的最小值是多少？【分析與解】我們從對結果影響最大的數上人手，然后考慮次大的，所以我們首先考慮10,為了讓和數最小，10兩邊的數必須為6和7.然后考慮9,9顯然只能放到圖中的位置，最后是8,8的位置有兩個位置可放，而且也不能立即得到哪個位置的乘枳和最小，所以我們兩種情況都計算.8X7+7X10+10X6+6X9+9X8=312;9X7+7X10+10X6+6X8+8X9=313.所以，最小值為312.3.一個兩位數被它的各位數字之和去除，問余數最大是多少？【分析與解】設這個兩位數為ab=10a+b,它們的數字和為a+b,因為10a+b=(a+b)+9a,所以10a+b=9a(moda+b),設最大的余數為k,有9a三k(moda+b).特殊的當a+b為18時，有9a=k+18m,因為9a、18nl均是9的倍數，那么k也應是9的倍數且小于除數18,即0,9,也就是說余數最大為9；所以當除數a+b不為18,即最大為17時，(rn=7+9t:一種情況|:余數最大為16,除數a+b只能是17,此時有9a=15+17m,有*_'+]7t6為可取。的自然數)，而a是一位數，顯然不滿足；悌二種情況I：余數其次為15,除數a+b只能是17或16,除數a+b=17時，有9a=15+17m,有|血=6+”,?為可取。的自然數)，2是一位數，顯然也不滿[a=13+17t足；m=3+9t除數a+b=16時，有9a=15+16m,有《一,(t為可取0的自然數)，因為a是一位數，所以a只a=7+16t
13能取7,對應b為16-7=9,滿足；所以最大的余數為15,此時有兩位數794-（7+9）=4……15.2.用1,2,3,4,5,6,1,8,9這9個數字各一次，組成一個被減數、減數、差都是三位數的正確的減法算式，那么這個算式的差最大是多少？【分析與解】考慮到對差的影響大小，我們先考慮百位數，為了讓差最大，被減數的百位為9,減9xx一］XX數的百位為1，如果差的百位為8,那算式就是如下形式：—8xX剩下的6個數字為2、3、4、5、6、7,因為百位數字為8,所以我們可以肯定被減數的十位數字比減數要大，而且至少大2,因為1已經出現(xiàn)在算式中了，算式的可能的形式如下：97X97X97X97X96X-15X-14X-13X一12X一14X8Xx'8Xx'8Xx'8XX，8XX96X96X95X95X94X-13X-12X-13X-12X-12X8XX，8XX，8XX，8Xx'8XX得數的十位只可能是減數和被減數的卜位數字之差，或者小1，可能的算式形式如下：97x97x97x97x97x-15x-14x-14x.-13x-12x_82x'82x'83x'84x*~~FVT'97x96x96x96x95x95x-12x-13x-12x-12x-13x-12x84x582x183x'_84x'-"82x'83x,但這時剩下的數都無法使算式成立.再考慮差的百位數字為7的情況，這時我們可以肯定減數的十位數比被減數要大，為了使差更大，我們希望差值的十位為8,因此，算式可能的形式為：92x92x93x93x94x-13x——14x-14x-15x-15x78x,78x*78x'_78x'78x'94x95x-16x-16x78xT-78x,再考慮剩下的三個數字，可以找到如下幾個算式：936945-152-162784、783,所以差最大為784.6.4個不同的真分數的分子都是1,它們的分母有2個是奇數、2個是偶數，而且2個分母是奇數的分數之和與2個分母是偶數的分數之和相等.這樣的奇數和偶數很多，小明希望這樣的2個偶數之和盡量地小，那么這個和的最小可能值是多少？【分析與解】設這四個分數為上二一、-L、一'一、一!一（其中m、n、a、b均為非零自然數）2m2n2a+l2b+l±1111n"*11_11有—+—二+,貝U有————?2m2n2a+l2b+l2m2b+l2a+l2n我們從m=l,b=1開始試驗：
14~+―—+_+__—+26344’312466,1111111111.++_+———_+420588153061010,11111+___—+65101212’一我們發(fā)現(xiàn)，!和！分解后具有相同的一項而且另外兩項的分母是滿足一奇一偶，滿足題中條5610件：—1=—1?所以最小的兩個偶數和為6+10=16.5156107.有13個不同的自然數，它們的和是100.問其中偶數最多有多少個?最少有多少個？【分析與解】13個整數的和為100,即偶數，那么奇數個數一定為偶數個，則奇數最少為2個，最多為12個；對應的偶數最多有11個，最少有1個.但是我們必須驗證看是否有實例符合.當有11個不同的偶數，2個不同的奇數時，11個不同的偶數和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132,而2個不同的奇數和最小為1+3=4.它們的和最小為132+4=136,顯然不滿足：當有9個不同的偶數，4個不同的奇數時，9個不同的偶數和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18=90,而4個不同的奇數和最小為1+3+5+7=16,還是大于100,仍然不滿足；當有7個不同的偶數，6個不同的奇數時，7個不同的偶數和最小為2+4+6+8+10+12+14=56,6個不同的奇數和為1+3+5+7+9+11：36,滿足,如2,4,6,8,10,12,22,1,3,5,7,9,11的和即為100.類似的可知，最少有5個不同的偶數，8個不同的奇數，有2,4,8,10,16,1.3.5,7,9,11,13,15滿足.所以，滿足題意的13個數中，偶數最多有7個，最少有5個.
15第四講幾何綜合內容概述勾股定理，多邊形的內角和，兩直線平行的判別準則，由平行線形成的相似三角形中對應線段和面積所滿足的比例關系.與上述知識相關的幾何計算問題.各種具有相當難度的幾何綜合題.典型問題圖30-21.如圖30-2,已知四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的邊長為10厘米，那么圖中陰影三角形BFD的面積為多少平方厘米？【分析與解】方法一：因為CEFG的邊長題中未給出，顯然陰影部分的面積與其有關?設正方形CEFG的邊長為x,有：111()x-x2S正方形488=10X10=100,S正方形cefg=X~,5^^=—DGxGF=—(10-x)x=-,111f)x+x"又Saab。=5x10X10=50,S^EF=-(10+x)x=―--.陰影部分的面積為：S正方形ABCD+SlE方形CEFG+SadgF-^AABD-f2IO%-X廠八10X+X2=100+x2+50=50(平方厘米).22方法二：連接FC,有FC平行與DB,則四邊形BCFD為梯形.有△DFB、ADBC共底DB,等高，所以這兩個三角形的面積相等，顯然，△DBC的面積-xl0xl0=50(平方厘米).2陰影部分△DFB的面積為50平方厘米.
162.如圖30-4,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI等于多少度？圖30-4【分析與解】為了方便所述，如下圖所示，標上數字，有/1=180°-（/1+/2）,而N1=18Q°-N3,N2=180°-/4,有NI=/3+N4T80°同理，ZH-Z4+Z5-18O0,ZG-Z5+Z6-18O0,ZF=Z6+Z7-180c,ZE=Z7+Z8-180°,ZD=Z8+Z9-180°,ZC=Z9+Z1O-18O0,ZB=Z10+Zl1-180°,ZA=Zll+Z3-1800n則NA+/B+/C+/D+NE+/F+/G+NH+/I=2X(Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8+Z9+Z10+Z1D-9X180°l^Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8+Z9+Z10+Zll正是9邊形的內角和為(9-2)X180=1260°.0tUIZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI=2X126Oo-9X180=900°3.長邊和短邊的比例是2：1的長方形稱為基本長方形.考慮用短邊互不相同的基本長方形拼圖，要求任意兩個基本長方形之間既沒有重疊，也沒有空隙.現(xiàn)在要用短邊互不相同且最小短邊長為1的5個基本長方形拼接成一個更大的長方形.例如，短邊長分別是1，2,5,6,12的基本長方形能拼接成大長方形，具體案如圖30-6所示.請給出這5個基本長方形所有可能的選擇方式.設ak"aKa3(a,〈也分別為5條短邊的長度,則我們將這種選擇方式記為(a.,判a31a,,as),這里無需考慮5個基本長方形的拼圖方案是否惟一.1|25612圖30-6【分析與解】我們以兒個不同的基本長方形作為分類依據，并按邊長遞增的方式一一列出.第類情況:以國為特征的有7組:第1種情況
17第謝情況1|22.57.25第4種情況||2：4.52.6第7種情況第二類情況：以6為特征的有6組:第8種情況5611第9種情況第三類情況有如下三組:第14種情況>124.52.5)4第謝情況第11種情況第15種情況
18共有16組解，它們是：(1,2,2.5,5,7.25),(1,2,2.5,5,14.5).(1,2,2.25,2.5,3.625),(1,2,2.25,2.5,7.25).(1,2,5,5.5,6),(1,2,5,6,11),(1,2,2.5,4.5,7),(1,2,2.5,4.5,14),(1,2,5,12,14.5),(1,2,5,12,29),(1,2,2.25,2.5,4.5),(1,2,5,6,12).131025Z81310^13.如圖30-8,ABCD是平行四邊形，面積為72平方厘米，E,F分別為邊AB,BC的中點.則圖形中陰影部分的面積為多少平方厘米？圖30-8【分析與解】如下圖所示，連接EC,并在某些點處標上字母,因為AE平行于DC,所以四邊形AECD為梯形，有AE:DC=1:2,所以:5Aoeg=1：4，XS于cg=SmEGXSgcG，且有S.GC=^AECG，所以:=1：2,而這兩個二角形高相同，面積比為底的比,即EG：GD=1:2,同理FH：HD=1:2.由Smed=Smeg+Saagd>而Smed=/X]XSABCD=18(平方厘米)有EG:GD二S“eg?S^gb，12所以5M￡G= x=6（平方厘米）SMGD=-XSMED=12（平方厘米）
19同理可得5兇叱=6（平方厘米），Sgc”=12（平方厘米），Smcg=450叩=4x6=24（平方厘米）又S.ghd=S^cg-S^ch=24-12=12（平方厘米）所以原題平行四邊形中空白部分的面積為6+6+12=24（平方厘米），所以剩下的陰影部分面積為72-24=48（平方厘米）.5.圖30To是一個正方形，其中所標數值的單位是厘米.問：陰影部分的面積是多少平方厘米？圖30-10【分析與解】如F圖所示，為了方便所敘，將某些點標上字母，并連接BG.設4AEG的面積為x,顯然AEBG、△BFG、AFCG的面積均為x,則AABF的面積為3x,Smm='x20x10=100即％=吧，那么正方形內空白部分的面積為=所以原題中陰影部分面積為20x20-理=陋（平方厘米）.336.如圖30-12,若圖中的圓和半圓都兩兩相切，兩個小圓和三個半圓的半徑長都是1.求陰影部分的面積.圖30-12
20【分析與解】如下圖所示，左圖中的3個陰影部分面積相等，右圖中的3個陰影部分的面積也相等.我們把左下圖中的每一部分陰影稱為A,右下圖中的每一部分陰影稱為B.1197r大半圓的面積為3A+3B+3-小圓的面積=一x3?x左=三.222(q41)4而小圓的面積為％,則A+8=——3—萬+3=一，I22)3原題圖中的陰影部分面積為小半圓面積與陰影A、B的面積和，即為￡=2兀2367.如圖30-14,將長方形ABCD繞頂點口帆時針旋轉90度，若AB=4,BC=3,AC=5,求AD邊掃過部分的面積.（力取3.14）圖30-14【分析與解】如下圖所示,如下圖所示，端點A掃過的軌跡為AA"A',端點D掃過軌跡為DD"D',而AD之間的點，掃過的軌跡在以A、D軌跡，AD,A'。所形成的封閉圖形內，且這個封閉圖形的每一點都有線段AD上某點掃過，所以AD邊掃過的圖形為陰影部分.顯然有陰影部分面積為S直角叢,見+$扇形—S直角.co—S扇形cd,d，而直角二角形ADC、ACD面積相等.所以U直角AA'D'CT。扇開處CA'。直角&4C。J扇形CDD。扇形AC4'。扇形CDD=啊4。2_策82=工（52_42）=2萬=7.065（平方厘米）36036044即AD邊掃過部分的面積為7.065平方厘米.
21第五講數論綜合【內容概述】涉及知識點多、解題過程比較復雜的整數綜合題，以及基本依靠數論手段求解的其他類型問題.1.如果把任意n個連續(xù)自然數相乘，其積的個位數字只有兩種可能，那么n是多少？【分析與解】我們知道如果有5個連續(xù)的自然數，因為其內必有2的倍數，也有5的倍數，則它們乘積的個位數字只能是0。所以n小于5.M所閱:當n為4時，如果其內含有5的倍數(個位數字為0或5),顯然其內含有2的倍數，那么它們乘積的個位數字為0；如果不含有5的倍數，則這4個連續(xù)的個位數字只能是1,2,3,4或6,7,8,9；它們的積的個位數字都是4；所以，當n為4時，任意4個連續(xù)自然數相乘，其積的個位數字只有兩科可能.第二種情況|：當n為3時，有1X2X3的個位數字為6,2X3X4的個位數字為4,3X4X5的個位數字為0,……，不滿足.然羽黃犯：當n為2時，有1X2,2X3,3X4,4X5的個位數字分別為2,6,4,0,顯然不滿足.至于n取1顯然不滿足了.所以滿足條件的n是4.2.如果四個兩位質數a,b,c,d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d.那么，(l)a+b的最小可能值是多少？(2)a+b的最大可能值是多少？【分析與解】兩位的質數有11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.可得出，最小為11+19=13+17=30,最大為97+71=89+79=168.所以滿足條件的a+b最小可能值為30,最大可能值為168.3.如果某整數同時具備如下3條性質：①這個數與1的差是質數；②這個數除以2所得的商也是質數；③這個數除以9所得的余數是5.那么我們稱這個整數為幸運數.求出所有的兩位幸運數.【分析與解】條件①也就是這個數與1的差是2或奇數，這個數只能是3或者偶數，再根據條件③,除以9余5,在兩位的偶數中只有14,32,50,68,86這5個數滿足條件.其中86與50不符合①，32與68不符合②，三個條件都符合的只有14.所以兩位幸運數只有14.
224.在555555的約數中，最大的三位數是多少?【分析與解】555555=5X111X1001=3X5X7X11X13X37顯然其最大的三位數約數為777.5.從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形.按照上面的過程不斷地重復,最后剪得正方形的邊長是多少毫米？【分析與解】從長2002毫米、寬847毫米的長方形紙板上首先可剪下邊長為847毫米的正方形，這樣的正方形的個數恰好是2002除以847所得的商.而余數恰好是剩F的長方形的寬，于是有：20024-847=2308,847+308=2231,3084-231=177.2314-77=3.不難得知，最后剪去的正方形邊長為77毫米.6.已知存在三個小于20的自然數，它們的最大公約數是1,且兩兩均不互質.請寫出所有可能的答案.【分析與解】設這三個數為a、b、c,且aVbVc,因為兩兩不互質，所以它們均是合數.小于20的合數有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18.其中只含1種因數的合數不滿足，所以只剩下6,10,12,14,15,18這6個數，但是14=2X7,其中質因數7只有14含有，無法找到兩個不與14互質的數.所以只剩下6,10,12,15,18這5個數存在可能的排列.4的可能取值610128的可能取值101215121515C的對應情況15不存在不存在1518不存在所以，所有可能的答案為(6,10,15)；(10,12,15)；(10,15,18).7.把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干組，要求每一組中任意兩個數的最大公約數是1.那么最少要分成多少組？【分析與解】26=2X13,33=3X11,34=2X17,35=5X7,63-32X7,85=5X17,91=7X13,143=11X13.由于質因數13出現(xiàn)在26、91、143三個數中，故至少要分成三組，可以分成如下3組：將26、33、35分為一組，91、34、33分為一組，而143、63、85分為一組.所以，至少要分成3組.8.圖10-1中兩個圓只有一個公共點A,大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米.兩只甲蟲同時從A出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同的速度分別爬了幾圈時.，兩只甲蟲首次相距最遠？
23【分析與解】圓內的任意兩點，以宜徑兩端點得距離最遠.如果沿小圓爬行的甲蟲爬到A點，沿大圓爬行的甲蟲恰好爬到B點，兩甲蟲的距離便最遠.小圓周長為乃X30=307r,大圓周長為48不，一半便是24乃，30與24的最小公倍數時120.120+30=4.1204-24=5.所以小圓上甲蟲爬了4圈時，大圓上甲蟲爬了5個！圓周長，即爬到了過A的直徑另一點B.這時2兩只甲蟲相距最遠.8.設a與b是兩個不相等的非零自然數.(1)如果它們的最小公倍數是72,那么這兩個自然數的和有多少種可能的數值？(2)如果它們的最小公倍數是60,那么這兩個自然數的差有多少種可能的數值？【分析與解】(l)a與b的最小公倍數72=2X2X2X3X3,有12個約數：1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72.不妨設a>b.僮一種情況I:當a=72時，b可取小于72的11種約數，a+b272+l=73；第二種情況|：當a=36時.b必須取8或24,a+b的值為44或60,均不同第一種情況中的值;第三種情況當a=24時，b必須取9或18,a+b的值為33或42,均不同第?、二種情況中的值;第四種情況當a=18時,b必須取8,a+b=26,不同于第一、二、三種情況的值;第五種情況I,當a=12時，b無解；第六種情況I：當三=9時.b必須取8,a+b=17,不同于第一、二、三、四情況中的值.總之，a+b可以有11+2+2+1+1=17種不同的值.(2)60=2X2X3X5,有12個約數：1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.a、b為60的約數，不妨設a>b.潼二種情況|：當a=60時，b可取60外的任何一個數，即可取11個值，于是a-b可取11種不同的值:59,58,57,56,55,54,50,48,45,40,30；第二種情況|.當a=30時，b可取4,12,20,于是a-b可取26,18,10；|第三種情況當a=20時，b可取3,6,12,15,所以a-b可取17,14,8,5；第四種情況當a=15時,b可取4,12,所以a-b可取11,3；第五種情況I：當a=12時，b可取5,10,所以a-b可取7,2.總之，a-b可以有11+3+4+2+2=22種不同的值.I39.狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次跳4一米，黃鼠狼每次跳2—米，它們每秒鐘都只跳一243次.比賽途中，從起點開始每隔12—米設有一個陷阱，當它們之中有一個掉進陷阱時，另一個跳了多8少米？31117a9
24【分析與解】由于12己+4—=—,12—+2-82484233所以狐狎跳4個12巳米的距離時將掉進陷阱，黃鼠狼跳2個123米的距離時，將掉進陷阱.88又由于它們都是一秒鐘跳一次，因此當狐貍掉進陷阱時跳了11秒，黃鼠狼掉進陷阱時跳了9秒，因此黃鼠狼先掉進陷阱，此時狐貍跳了9秒.距離為9X4,=40.5(米).211.在小于1000的自然數中，分別除以18及33所得余數相同的數有多少個？(余數可以為0)【分析與解】我們知道18,33的最小公倍數為“知33]=198,所以每198個數一次.1~198之間只有1,2,3,17,198(余0)這18個數除以18及33所得的余數相同，而999?198=59,所以共有5X18+9=99個這樣的數.12.甲、乙、丙三數分別為603,939,393.某數A除甲數所得余數是A除乙數所得余數的2倍,A除乙數所得余數是A除丙數所得余數的2倍.求A等于多少？【分析與解】由題意知4倍393除以A的余數，等于2倍939除以A的余數，等于甲603除以A的余數.即603+A=ak；(2X939)+A=bk；(4X393)+A=ck.于是有(1878—603)+A=b—a；(1878-1572)4-A=b-c；(1572-603)-rA=c-a.所以A為1275,306,969的約數,(1275,306,969)=17X3=51.于是，A可能是51,17(不可能是3,因為不滿足余數是另一余數的4倍).當A為51時，有603+51=1142；9394-51=1821；393+51=736.不滿足；當A為17時，有603+17=358；9394-17=554；393+17=232；滿足.所以，除數4為17.13.證明：形如11,111,1111,11111,…的數中沒有完全平方數.【分析與解】我們知道奇數的完全平方數是奇數，偶數的完全平方數為偶數，而奇數的完全平方數除以4余1,偶數的完全平方數能被4整除.現(xiàn)在這些數都是奇數，它們除以4的余數都是3,所以不可能為完全平方數.評注：設奇數為2n+l,則它的平方為4〃2+4n+l,顯然除以4余1.14.有8個盒子，各盒內分別裝有奶糖9,17,24,28,30,31,33,44塊.甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走.已知乙、丙取到的糖的塊數相同且為丁的2倍.問：甲取走的一盒中有多少塊奶糖？【分析與解】我們知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的塊數是丁所取糖塊數的5倍.八盒糖總塊數為9+17+24+28+30+31+33+44=216.從216減去5的倍數，所得差的個位數字只能是1或6.觀察各盒糖的塊數發(fā)現(xiàn)，沒有個位數字是6的，只有一個個位數字是1的數31.因此甲取走的一盒中有31塊奶糖.15.在一根長木棍上，有三種刻度線.第一種刻度線將木棍分成10等份；第二種將木棍分成12等份：第三種將木棍分成15等份.如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段？
25【分析與解】10,12,15的最小公倍數[10,12,15]=60,把這根木棍的」-作為一個長度單位，這60樣，木棍10等份的每一等份長6個單位；12等份的每等份長5個單位；15等份的每等份長4單位.不計木棍的兩個端點，木棍的內部等分點數分別是9,11,14（相應于10,12,15等份），共計34個.由于5,6的最小公倍數為30,所以10與12等份的等分點在30單位處相重，必須從34中減1.又由于4,5的最小公倍數為20,所以12與15等份的等分點在20單位和40單位兩處相重，必須再減去2.同樣，6,4的最小公倍數為12,所以15與10等份的等分點在12,24,36,48單位處相重，必須再減去4.由于這些相重點各不相同，所以從34個內分點中減去1,再減去2,再減去4,得27個刻度點.沿這些刻度點把木棍鋸成28段.
26第六講列方程解應用題內容概述列方程解決問題是一種很重:要的通法，以前我們往往將應用題分成：雞兔同籠、年齡問題、還原問題等等，再歸納出每一類問題的解法.而現(xiàn)在我們就可以利用方程統(tǒng)一來考慮這些問題.方程思想的建立可以說是一個很大的飛躍.下面我們就如何找好等量關系，如何建立方程給出一些示范，希望大家體會掌握以提高自己的解題能力.典型問題1.有一籃子雞蛋分給若干人，第一人拿走1個雞蛋和余下的,，第二人拿走2個和余下的第三99人拿走3個和余下的,，……，最后恰好分完，并且每人分到的雞蛋數相同，問：共有多少雞蛋?分給9幾個人？【分析與解】設原有x個雞蛋，那么第一人拿了l+g(x—l)個雞蛋，第二人拿了]~\1]「X2+-x-(x-l)-2個雞蛋.1+—(x-l)=2+-x-(x-l)-29|_9」99|_9解得x=64,則第一人拿了l+"x(64-l)=8個雞蛋，所以共有64+8=8人.即共有64個雞蛋，分給8個人.2.某人每日下午5時下班后有一輛汽車按時接他回家.有一天，他提前1小時下班，因汽車未到，遂步行返家，在途中遇到來接他的汽車，因而比平日早16分鐘到家，問此人是步行幾分鐘后遇見汽車的？【分析與解】設此人在步行x分鐘以后遇見汽車，汽車的速度為“1”，汽車從家到單位需要y分鐘.由家到單位的總路程為y,如果汽車在4時就在單位接他，他應該提前1小時到家，但是現(xiàn)在只提前16分鐘到家，說明相對汽車他在x分鐘這段路程上耽擱44分鐘，所以汽車走這段路程只需要尤一44分鐘.而汽車是從5：00-y從家出發(fā)，在4：00+x達到相遇點.所以行駛x+y-60分鐘.x-44+(x4-y-60)=y,W2x-104=0,x=52.
27所以，此人是在步行52分鐘后遇見汽車的.3.一次數學競賽中共有A、B、C三道題，25名參賽者每人至少答對了一題.在所有沒有答對A的學生中，答對B的人數是答對C的人數的兩倍，只答對問題A的人數比既答對A又至少答對其他一?題的人數多1.又已知在所有恰好答對一題的參賽者中，有一半沒有答對A.請問有多少學生只答對B?【分析與解】設不只答對A的為x人，僅答對B的為y人，沒有答對A但答對B與C的為z人.x+x+l+y+z+^y^=25①=2②_25-x解得：y3[z=23-3xy>z,x>6,x=7時，y、z都是正整數，所以x=7,y=6,z=2。故只答對B的有6人.4.河水是流動的，在Q點處流入靜止的湖中，一游泳者在河中順流從P到Q,然后穿過湖到R,共用3小時.若他由R到Q再到P,共需6小時.如果湖水也是流動的，速度等于河水的速度，那么從P到Q再到R需工小時.問在這樣的條件下，從R到Q再到P需幾小時？2【分析與解】設游泳者的速度為1，水速為y,PQ=a,QR=b,則有：—+5=3①1+Va+b5②T+y=2③口一丁
28且有1+y、1―y、y均不為0.
29①一②得-'=—＞即b=1+'④l+y22y③-①得"4=3,即.=3(1=)I-y22)⑤由②、④、⑤得5l+y-x(14-y)=6f4-/?=——-x(4-3y),即5y=4—3y.22y于是，y=L.由②得a+匕=』x(l+L)="-2224小時.a+b151-y4即題中所述情況下從R到Q再到P需”小時.2
30第七講方程與方程組內容概述二元、三元一次方程組的代入與加減消元法.各種可通過列方程與方程組解的應用題，求解時要恰當地選取未知數，以便于將已知條件轉化為方程.典型問題1.一個分數，分子與分母的和是122,如果分子、分母郡減去19,得到的分數約簡后是那么原來的分數是多少？【分析與解】方法一：設這個分數為—^―，則分子、分母都減去19為122—q。一19。一191==上，即5。-95=103-。，解得。=33,貝IJ122—33=89.所以原來的分數(122-a)-19103-a5方法二：設這個分數為變化后為色，那么原來這個分數為32,并且有5a5a+1933(a+19)+(5a+19)=122,,解得。=14.所以原來的分數是雨.2.有兩堆棋子，A堆有黑子350和白子500個，B堆有黑子400個和白子100個.為了使A堆中黑子占50%,B堆中黑子占75%,那么要從B堆中拿到A堆黑子多少個？白子多少個？【分析與解】要使A堆中黑、白子一樣多，從B堆中拿到A堆的黑子應比白子多150個，設從B堆中拿白子了個，則拿黑子(工+150)個.依題意有一400-1+15)=_=75%,解得X=25.所以要拿黑子25+150=175個.白子25個400+100-(2x4-150)3.A種酒精中純酒精的含量為40%,B種酒精中純酒精的含量為36%,C種酒精中純酒精的含量為35%.它們混合在一起得到了純酒精的含量為38.5%,的酒精11升，其中B種酒精比C種酒精多3升.那么其中的A種酒精有多少升？【分析與解】設c種酒精x升，則B種酒精戈x+3升，A種酒精H-x-(x+3)升.有：[ll-x-(x+3)]+4%+(x+3)X36%+xX35%=HX38.5%解得x=0.5.其中A種酒精為U-2x-3=7(升).4.校早晨6：00開校門，晚上6：40關校門。下午有位同學問老師現(xiàn)在的時間，老師說：從開校門到現(xiàn)在時間的，加上現(xiàn)在到關校門時間的1,就是現(xiàn)在的時間.那么現(xiàn)在的時間是下午幾點？34【分析與解】設現(xiàn)在為下午x點.那么上午6：00距下午x點為6+x小時；下午x點距下午6：402
31為6x小時.3有：-x(6+x)+^-f6--xj=x,解得x=4.所以現(xiàn)在的時間為下午4點.5.如圖18—2中的短除式所示，一個自然數被8除余1,所得的商被8除余1,再把第二次所得的商被8除后余7,最后得到的一個商是圖18-3中的短除式表明：這個自然數被17除余4,所得的商被17除余15,最后得到的一個商是a的2倍.求這個自然數.|所求的自然數……余48|所求的自然數……余1H178第一次商……余18|第一次商……余7"L更二次-_……余152aa圖18-2圖18-3【分析與解】由題意知[(8a+7)x8+l]x8+l=(17+2a)+17+4,整理得512a+457=578a+259,即66a=198,a=3.于是，[(80+1)X8+1]X8+1=1993.6.一堆彩色球，有紅、黃兩種顏色.首先數出的50個球中有49個紅球；以后每數出的8個球中都有7個紅球.一直數到最后8個球，正好數完.如果在已經數出的球中紅球不少于90%,那么這堆球的數目最多只能有多少個？【分析與解】方法一：首先數出的50個球中，紅球占49+50X100%=98%.以后每次數出的球中，紅球占7?8義100%=87.5%.取得次數越多，紅球在所取的所有球中的百分數將越低.設取得X次后，紅球恰占90%.共取球50+8z,紅球為49+7X.(49+7x)+(50+8x)X100%=90%,解得x=20,所以最多可取20次，此時這堆球的數目最多只能有50+8X20=210個.方法二：設，除了開始數出的50個球，以后數了〃次，那么，共有紅球49+7n,共有球50+8n,有49+1n?290%,即49+7n245+7.2n,解得〃<20,所以n的最大值20.50+8〃則這堆球的數目最多只能有50+8X20：210個.7.有甲、乙、丙、丁4人，每3個人的平均年齡加上余下一人的年齡分別為29,23,21和17.這4人中最大年齡與最小年齡的差是多少？【分析與解】設這些人中的年齡從大到小依次為x、y、z、w，+Z+W-+x=293x+y+z-―-——+w=173
32①+②+③十④得：2(x+y+z+w)=90,巾x+y+z+w…則一—=15⑤32①-⑤得：一1二14,工二21；32④-⑤得：—z=2,z=3；3所以最大年齡與最小年齡的差為工-卬=21—3二18(歲).
33第八講行程與工程內容概述運動路線或路況復雜，與周期性或數論知以相關聯(lián)，需進行優(yōu)化設計等具有相當難度的行程問題.工作效率發(fā)生改變，要完成的項目及參加工作的對象較多的工程問題.典型問題1=如圖21-1,A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小張和小王在上坡時步行速度是每小時4千米，平路時步行速度是每小時5千米，下坡時步行速度是每小時6千米.小張和小王分別從A和D同時出發(fā)，1小時后兩人在E點相遇.已知E在BC上，并且E至C的距離是B至C距離的1.當5小王到達A后9分鐘，小張到達D.那么A至D全程長是多少千米?圖21-141【分析與解】BE是BC的一，CE是BC的一，說明DC這段下坡，比AB這段下坡所用的時間多，也就55是DC這一段，比AB這一段長，因此可以在DC上取一段DF和AB一樣長，如下圖：BGEC另外，再在圖上畫出一點G,使EG和EC?樣長，這樣就表示出，小王從F到C.小張從B到G.小王走完全程比小張走完全程少用9分鐘，這時因為小張走C至F是上坡,而小王走F至C是下坡（他們兩人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一樣多）.因此，小王從F至C,走下坡所用時間是9?=18（分鐘）.因此得出小張從B至G也是用18分鐘，走GE或CE都用6分鐘.走B至C全程（平路）要30分鐘.從A至日下坡所用時間是60-18-6=36（分鐘）；從D至C下坡所用時間是60-6=54（分鐘）；65A至D全程長是（36+54）X一+30X一=11.5千米.60602.如圖21-2,A,B兩點把一個周長為1米的圓周等分成兩部分.藍精靈從B點出發(fā)在這個圓周上沿逆時針方向做跳躍運動，它每跳一步的步長是巳米，如果它跳到A點，就會經過特別通道AB滑向日8點，并從B點繼續(xù)起跳，當它經過一次特別通道，圓的半徑就擴大一倍.已知藍精靈跳了1000次，那么跳完后圓周長等于多少米？33【分析與解】3x4=1即藍精靈跳4次到A點.圓半徑擴大一倍即乘以2后，跳8次到A點.82
34依次類推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000,所以有7次跳至A點.1000次跳完后圓周長是IX27=128米.3.已知貓跑5步的路程與狗跑3步的路程相同；貓跑7步的路程與兔跑5步的路程相同.而貓跑3步的時間與狗跑5步的時間相同；貓跑5步的時間與兔跑7步的時間相同，貓、狗、兔沿著周長為300米的圓形跑道，同時同向同地出發(fā).問當它們出發(fā)后第一次相遇時各跑了多少路程？【分析與解】方法一：由題意，貓與狗的速度之比為9:25,貓與兔的速度之比為25:49.2549設單位時間內貓跑1米，則狗跑二米，兔跑二米.925狗追上貓一圈需300+("-1)=變單位時間，9449625兔追上貓一圈需300+(空-1)=也單位時間.252貓、狗、兔再次相遇的時間，應既是空的整數倍，又是殷的整數倍.42竺與竺的最小公倍數等于兩個分數中，分子的最小公倍數除以分母的最大42一6756251「675,625116875公約數，即—=J~”=%2=8437.5.42(4,2)2上式表明，經過8437.5個單位時間，貓、狗、兔第一次相遇.此時，貓跑了8437.5米，狗跑了25498437.5X—=23437.5米，兔跑了8437.5X—=16537.5米.925方法二：有貓跑35步的路程與狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而貓跑15步的時間與狗跑25步的時間，兔跑21步的時間相同.152521所以貓、狗、兔的速度比為土■:':乙，它們的最大公約數為352125J52521^”25,21)_]拶7T石廠[35,21,25]-3x5x5x7=6253x5x5x7即設貓的速度為"+——!——=225,那么狗的速度為竺十353x5x5x721211，則兔的速度為一t=441.253x5x5x73于是狗每跑300+(625-225)=-單位時追上貓;425兔每跑300+(441-225)=一單位時追上貓.18而——=7——r=——＞所以貓、狗、兔跑了至單位時，三者相遇.|_418J(4,18)22有貓跑了一X225=8437.5米，狗跑了一X625=23437.5米，兔跑了一義441=16537.5米.22275評注：方法一、方法二中的相遇時間一個是8437.5單位，一個是上單位，可是答案卻是一樣的，為2什么呢？
35在方法二中，如果按下面解答會得到不同答案，又是為什么?哪個方法有問題呢？自己試著解決,并在今后的學習中避免這種錯誤.1875于是狗每跑300米(625-225)X625=米追上貓:41225兔每跑300+(441-225)X441=米追上貓；2■187512251[1875,1225]4.一條環(huán)形道路，周長為2千米.甲、乙、丙3人從同一點同時出發(fā)，每人環(huán)行2周.現(xiàn)有自行車2輛，乙和丙騎自行車出發(fā)，甲步行出發(fā)，中途乙和丙下車步行，把自行車留給其他人騎.已知甲步行的速度是每小時5千米，乙和丙步行的速度是每小時4千米，3人騎車的速度都是每小時20千米.請你設計一種走法，使3個人2輛車同時到達終點.那么環(huán)行2周最少要用多少分鐘？【分析與解】如果甲、乙、丙均始終騎車，則甲、乙、丙同時到達，單位“1”的路程只需時間」20乙、丙情況類似，所以先只考慮甲、乙，現(xiàn)在甲、乙因為步行較騎車行走單位“1”路程，耽擱的時間比為：而他們需同時出發(fā)，同時到達，所以耽擱的時間應相等.于是步行的距離比應為耽擱時間的倒數比,即為4:3；因為丙的情形與乙一樣，所以甲、乙、丙三者步行距離比為4:3:3.因為有3人，2輛自行車，所以，始終有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于環(huán)形道路的周長.4于是，甲步行的距離為2X=0.8千米；則騎車的距離為2義2-0.8=3.2千米；4+3+3AQ32所以甲需要時間為（&+"）X60=19.2分鐘520環(huán)形兩周的最短時間為19.2分鐘.參考方案如下：甲先步行0.8千米，再騎車3.2千米；乙先騎車2.8千米，再步行0.6千米，再騎車0.6千米（丙留下的自行車）；丙換車千米.丙先騎車3.4千米，再步行0.65.甲、乙兩項工程分別由一、二隊來完成.在晴天，一隊完成甲工程需要12天.二隊完成乙工程需要15天；在雨天，一隊的工作效率要下降40%,二隊的工作效率要下降10%.結果兩隊同時完成這兩項工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？【分析與解】晴天時，一隊、二隊的工作效率分別為_L和_1,一隊比二隊的工作效率高_L__L=11113雨天時，一隊、二隊的工作效率分別為一義（『40%）=——和一X（1-10%）=—,這時二隊的工作效率比12201550311一隊iWi=.5020100由‘——=5:3知，要兩個隊同時完工，必須是3個晴天，5個雨天，而此時完成了工程的60100—X3+—X5=l,所以，整個施工期間共有6個晴天,10個雨天.12202
366.畫展9時開門，但早有人來排隊等候入場.從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數一樣多.如果開3個入場口，9時9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，9時5分就沒有人排隊.那么第一個觀眾到達的時間是8時幾分？【分析與解】由題意可得兩個等式，如下：（開門前排隊人數）+（9分鐘內到的人數）=3X（每個入口每分鐘進的人數）X9①（開門前排隊人數）+（5分鐘內到的人數）=5X（每個入口每分鐘進的1人數）X5②①-②得:4分鐘內到的人數=2X（每個人口每分鐘進的人數）③從而有:每個入口每分鐘進的人數=2X（每分鐘進的人數）……④代入②得，開門前排隊人數=25X2-5=45分鐘內到的人數.因此第一個人是8點15（=60-45）分到達的.7.甲、乙、丙3名搬運工同時分別在3個條件和工作量完全相同的倉庫工作，搬完貨物甲用10小時，乙用12小時，丙用15小時.第二天3人又到兩個較大的倉庫搬運貨物，這兩個倉庫的工作量也相同.甲在A倉庫，乙在B倉庫，丙先幫甲后幫乙，結果干了16小時后同時搬運完畢.問丙在A倉庫做了多長時間？【分析與解】設第一天的每個倉庫的工作量為“1”，那么甲、乙、丙的合作工作效率為第二天，甲、乙、丙始終在同時工作，所V101215）4以第二天兩個倉庫的工作總量為』X16=4,即第二天的每個倉庫的工作總量為4+2=2.41OO2于是甲工作了16小時只完成了16義一=一的工程量，剩下的2--=一的工程量由丙幫助完成，則丙需1055521工作一+—=6（小時）.515丙在A倉庫做了6小時.
37第九講比和比例【內容概述】兩個數相除又叫做兩個數的比.一、比和比例的性質性質1：若a:b=c：d,則(a+c)：(b+d)=a：b=c：d；性質2：若a:b=c：d,貝lj(a-c)：(b-d)=a：b=c：d；性質3：若a:b=c：d,則(a+xc)：(b+xd)=a：b=c：d；(x為常數)性質4：若a:b=c；d,則aXd=bXc；(即外項積等于內項積)正比例：如果a+b=k(k為常數),則稱a、b成正比；反比例：如果aXb=k(k為常數)，則稱a、b成反比.二、比和比例在行程問題中的體現(xiàn)路程在行程問題中，因為有速度=篝，所以：時間當--組物體行走速度相等，那么行走的路程比等于對應時間的反比；當一組物體行走路程相等，那么行走的速度比等于對應時間的反比；當一組物體行走時間相等，那么行走的速度比等于對應路程的正比.1.A和B兩個數的比是8：5,每一數都減少34后，A是B的2倍，試求這兩個數.【分析與解】方法一：設A為8x,則B為5x,于是有(8x-34):(5x-34)=2：1,x=17,所以A為136,B為85.方法二：因為減少的數相同，所以前后A、B的差不變，開始時差占3份，后來差占1份且與B一樣多，也就是說減少的34,占開始的3-1=2份，所以開始的1份為34+2=17,所以A為17X8=136,B為17X5=85.2.近年來火車大提速，1427次火車自北京西站開往安慶西站，行駛至全程的《再向前56千米處所用時間比提速前減少了60分鐘，而到達安慶西站比提速前早了2小時.問北京西站、安慶西站兩地相距多少千米？【分析與解】設北京西站、安慶西站相距多少千米？(―x+56)：x=60：120,BP(—x+56)：x=l：2,即x=Wx+112,解得x=1232.111111即北京西站、安慶西站兩地相距1232千米，3.兩座房屋A和B各被分成兩個單元.若干只貓和狗住在其中.已知：A房第一單元內貓的比率(即住在該單元內貓的數目與住在該單元內貓狗總數之比)大于B房第一單元內貓的比率；并且A房第二單元內貓的比率也大于B房第二單元內貓的比率.試問是否整座房屋A內貓的比率必定大于整座房屋B內貓的比率？【分析與解】如下表給出的反例指出：對所提出問題的回答應該是否定的.表中具體寫出了各個單元及整座房屋中的寵物情況和貓占寵物總數的比率.
38第一單元第二單元整座房屋A貓1,狗0,貓率=1/1貓1,狗3,貓率=1/4貓2,狗3,貓率=2/5貓3,狗1,描率=3/4貓0,狗1,貓率=0貓3,狗2,貓率=3/54.家禽場里雞、鴨、鵝三種家禽中公籬與母籬數量之比是2：3,已知雞、鴨、鵝數量之比是8：7：5,公雞、母雞數量之比是1：3,公鴨、母鴨數量之比是3：4.試求公鵝、母鵝的數量比.【分析與解】公雞占家禽場家禽總數的—x5+4x-x4)=45:46:(3x-x5+4x—x4)=46:47.-x—^―=—,母雞占3333458+7+51+3101r3總數的三；10q334公鴨占總數的X——=—,母鴨占總數的，-:21公鵝占總數的，--(―+3+21032為—：—：3：2.20208+7+53+42020332342公鵝、母鵝數量之比—,母鵝占總數的，一一(—+—)=—20203+21020205.在古巴比倫的金字塔旁，其朝西下降的階梯旁6m的地方樹立有1根走子，其影子的前端正好到達階梯的第3階（箭頭）.另外，此時樹立1根長70cm自桿子，其影子的長度為175cm,設階梯各階的高度與深度都是50cm,求柱子的高度為多少？【分析與解】70cm的桿子產生影子的長度為175cm;所以影子的長度與桿子的長度比為：175：70=2.5倍.于是，影子的長度為6+1.5+65X2.5=11.25,所以桿子的長度為11.25:2.5=4.5m.6.已知三種混合物由三種成分A、B、C組成，第一種僅含成分A和B,重量比為3：5；第二種只含成分B和C,重量比為I：2：笫三種只含成分A和C,重量之比為2：3.以什么比例取這些混合物，才能使所得的混合物中A,B和C,這三種成分的重量比為3：5：2?【分析與解】注意到第一種混合物種A、B重量比與最終混合物的A、B重量比相同，均為3：5.所以,
39先將第二種、第三種混合物的A、B重量比調整到3：5,再將第二種、第三種混合物中A、B與第一種混合物中A、B視為單一物質.第二種混合物不含A,第三種混合物不含B,所以1.5倍第三種混合物含A為3,5倍第二種混合物含B為5,即第二種、第三種混合物的重量比為5：1.5.于是此時含有C為5X2+1.5X3=14.5,在最終混合物中C的含量為3A/5B含量的2倍.有14.5+2-1=6.25,所以含有第一種混合物6.25.即第一、二、三這三種混合物的比例為6.25：5：1.5=25：20：6.7.現(xiàn)有男、女職工共1100人，其中全體男工和全體女工可用同樣天數完成同樣的工作；若將男工人數和女工人數對調一下，則全體男25天完成的工作，全體女工需36天才能完成，問：男、女工各多少人?【分析與解】直接設出男、女工人數，然后在通過方程求解，過程會比較繁瑣.設開始男工為“1”，此時女工為“k”，有1名男工相當k名女工.男工、女工人數對調以后，則男工為“k”，相當于女工“I?”,女工為T.有k"：1=36：25,所以k=—.5于是，開始有男工數為」一XI100=500人，女工600人.1+女8.有甲乙兩個鐘，甲每天比標準時間慢5分鐘，而乙每天比標準時間快5分鐘，在3月15日的零點零分的時候兩鐘正好對準.若已知在某一時刻，乙鐘和甲鐘時針與分針都分別重合，且在從3月15日開始到這個時候，乙鐘時針與分針重:合的次數比甲鐘多10次，那么這個時候的標準時間是多少？【分析與解】標準的時鐘每隔65（■分鐘重合一次.假設經歷了x分鐘.于是，甲鐘每隔一分鐘重合一次，甲鐘重合了24x60-5乂、次;1124x60-524x60同理，乙鐘重合了二「°+5xx次:于是，需要乙鐘比甲鐘多重合24x6010Xx=10;24x6024x60+524x60-5Xx-Xx=24x6024x60所以，x=24X60；所以要經歷24X60X65』分鐘,1124x60x65—§則為U-=652天24x6011于是為65天（5x24=）10（甲）小時（甲x60=）544分鐘?9.一隊和二隊兩個施工隊的人數之比為3：4,每人工作效率之比為5：4,兩隊同時分別接受兩項工作21量與條件完全相同的工程，結果二隊比一隊早完工9天.后來，由一隊工人士與二隊工人士組成新一33隊，其余的工人組成新二隊.兩支新隊又同時分別接受兩項工作量與條件完全相同的工程，結果新二隊比新一隊早完工6天.試求前后兩次工程的工作量之比？
40【分析與解】一隊與二隊的工作效率之比為：(3X5)：(4X4)=15：16.一隊干前一個工程需94--=144天.16新一隊與新二隊的工作效率之比為：2112(3x-x5+4x-x4):(3x-x5+4x-x4)=46:47.新一隊干后一個工程需6^--=282天.47一隊與新一隊的工作效率之比為15:(3x-x5+4x-x4)=45:463346所以一隊干后一個工程需282X—天.4546前后兩次工程的工作量之比是144：(282X——)=(144X45)：(282X46)=540：1081.45
41第十講應用題綜合內容概述較為復雜的以成本與利潤、溶液的濃度等為內容的分數與百分數應用題.要利用整數知識，或進行分類討論的綜合性和差倍分問題.典型問題I.某店原來將一批蘋果按100%的利潤（即利潤是成本的100%）定價出售.由于定價過高，無人購買.后來不得不按38%的利潤重新定價，這樣出售了其中的40%.此時，因害怕剩余水果腐爛變質，不得不再次降價，售出了剩余的全部水果.結果，實際獲得的總利潤是原定利潤的30.2%.那么第二次降價后的價格是原定價的百分之多少？【分析與解】第二次降價的利潤是：（30.2%-40%X38%）4-（1-40%）=25%,價格是原定價的（1+25%）+（1+100%）=62.5%.2.某商品76件，出售給33位顧客，每位顧客最多買三件.如果買一件按原定價，買兩件降價10%,買三件降價20%,最后結算，平均每件恰好按原定價的85%出售.那么買三件的顧客有多少人？【分析與解】3X（l-20%）+lX100%=340%=4X85%,所以1個買一件的與1個買三件的平均，正好每件是原定價的85%.由于買2件的，每件價格是原定價的1-10%=90%,所以將買一件的與買三件的一一配對后，仍剩下一些買三件的人，由于3X（2X90%）+2義（3X80%）=12X85%.所以剩下的買三件的人數與買兩件的人數的比是2:3.于是33個人可分成兩種，一種每2人買4件，一種每5人買12件.共買76件，所以后一種4124（76-33X-）+（絲-二）=25（人）.2523其中買二件的有:25x3=15（人）.前一種有33-25=8（人），其中買一件的有8+2=4（人）.于是買三件的有33-15-4=14（人）.3.甲容器中有純酒精11立方分米，乙容器中有水15立方分米.第一次將甲容器中的一部分純酒精倒入乙容器，使酒精與水混合；第二次將乙容器中的一部分混合液倒人甲容器.這樣甲容器中的純酒精含量為62.5%,乙容器中的純酒精含量為25%.那么，第二次從乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米？【分析與解】設最后甲容器有溶液x立方分米，那么乙容器有溶液（11+15-尤）立方分米.有62.5%Xx+25%X（26-x）=ll,解得x=12,即最后甲容器有溶液12立方分米，乙容器則有溶液26T2=14立方分米.而第二次操作是將乙容器內溶液倒入甲容器中，所以乙溶液在第二次操作的前后濃度不變，那么在第二次操作前，即第一次操作后，乙容器內含有水15立方分米，則乙容器內溶液15+（1-25%）：20立方分米.而乙容器最后只含有14立方分米的溶液，較第二次操作前減少了20-14=6立方分米，這6立方分米倒給了甲容器.即第二次從乙容器倒入甲容器的混合液是6立方分米.
424.1994年我國糧食總產量達到4500億千克，年人均375千克.據估測，我國現(xiàn)有耕地1.39億公頃，其中約有一半為山地、丘陵.平原地區(qū)平均產量已超過每公頃4000千克，若按現(xiàn)有的潛力，到2030年使平原地區(qū)產量增產七成，并使山地、丘陵地區(qū)產量增加二成是很有把握的.同時在20世紀末把我國人口總數控制在12.7億以內，且在21世紀保持人口每年的自然增長率低于千分之九或每十年自然增長率不超過10%.請問：到2030年我國糧食產量能超過年人均400千克嗎？試簡要說明理由.【分析與解】山地、丘陵地區(qū)耕地為1.39+2-0.70億公頃，那么平原地區(qū)耕地為1.39-0.70=0.69億公頃，因此平原地區(qū)耕地到2030年產量為:4000X0.69X1.7=4692（億千克）；山地、丘陵地區(qū)的產量為：（4500-4000X0.69）XI.2=2088（億千克）；糧食總產量為4692+2088=6780（億千克）.而人口不超過12.7X1.『」16.9（億）,按年人均400千克計算.共需400X16.9=6760（億千克）.所以，完全可以自給自足.5.要生產基種產品100噸，需用A種原料200噸，B種原料200.5噸，或C種原料195.5噸，或D種原料192噸，或E種原料180噸.現(xiàn)知用A種原料及另外一種（指B,C,D,E中的一種）原料共19噸生產此種產品10噸.試分析所用另外一種原料是哪?種，這兩種原料各用了多少噸？【分析與解】我們知道題中情況下，生產產品100噸，需原料190噸。生產產品100噸，需A種原料200噸，200>190,所以剩F的另一種原料應是生產100噸，需原料小于190噸的，B,C、D、E中只有E是生產100噸產品。只需180噸（180<190）,所以另一種原料為E,設A原料用了x噸，那么E原料用了19-x噸，即可生產產品10噸：xX--+（19-JC）X--=10,解得x=10.200180即A原料用了10噸，而E原料用了19-10=9噸.6.有4位朋友的體重都是整千克數，他們兩兩合稱體重，共稱了5次，稱得的千克數分別是99,113,125,130,144.其中有兩人沒有一起稱過，那么這兩個人中體重較重的人的體重是多少千克？【分析與解】在已稱出的五個數中，其中有兩隊之和，恰好是四人體重之和是243千克，因此沒有稱過的兩人體重之和為243-125=118（千克）.設四人的體重從小到大排列是a、b、c、d,那么一定是a+b=99,a+c：=113.因為有兩種可能情況：a+d=118,b+c=125；或b+c=118.a+d=125.因為99與113都是奇數，b=99-a,c=113-?,所以b與c都是奇數，或者b與c都是偶數，于是b+c一定是偶數，這樣就確定了b+c=U8.a、b、c三數之和為：（99+113+118）4-2=165.b,c中較重的人體重是c,c=（.a+b+c）-（a+b）=165-99=66（千克）.沒有一起稱過的兩人中，較重者的體重是66千克.補充選講問題1、A、B、C四個整數，滿足A+B+C=2001,而且143先看①1+AQ+B〈1+C〈A+B
