河北省武強(qiáng)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

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武強(qiáng)中學(xué)2022—2023學(xué)年度高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇（每題5分，共60分）1.將直線(xiàn)繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到新直線(xiàn)的斜率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】原直線(xiàn)的傾斜角為，旋轉(zhuǎn)后傾斜角為，從而求得斜率.【詳解】原直線(xiàn)的傾斜角為，旋轉(zhuǎn)后傾斜角為，所以新直線(xiàn)的斜率為.故選：.2.橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，則C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，再利用，即可求解.【詳解】由題意可得，又，可得，整理可得，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率，考查了基本知識(shí)掌握的情況，屬于基礎(chǔ)題.3.若點(diǎn)(2a，a－1)在圓x2＋(y＋1)2＝5的內(nèi)部，則a的取值范圍是(　　)A.(－∞，1]B.(－1,1)C.(2,5)D.(1，＋∞)【答案】B【解析】【詳解】【分析】點(diǎn)(2a，a－1)在圓x2＋(y＋1)2＝5內(nèi)部，則(2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1,選B.第14頁(yè)/共14頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

14.如果，，那么直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】直線(xiàn)變換為，確定，，得到直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)的象限.【詳解】由可得，，因，，故，.故直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限.故選：D5.如果雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，確定，的關(guān)系，再確定橢圓幾何量之間的關(guān)系，即可求得結(jié)論．【詳解】解：由題意，，橢圓中，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)、橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.已知條件，條件表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】第14頁(yè)/共14頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

2【分析】根據(jù)題意，由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得形式可得：當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，反之不一定成立，由充分必要條件的定義即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，方程，當(dāng)時(shí)，則，其表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，反之，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，但不一定成立，故條件是條件表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了充分條件、必要條件的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7.若雙曲線(xiàn)的離心率為，則其漸近線(xiàn)方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用，轉(zhuǎn)化，即得解【詳解】由，可得可解的，故雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，故選：A.8.已知集合，集合，且，則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合曲線(xiàn)的幾何意義數(shù)形結(jié)合求解a的取值范圍即可.【詳解】由題意可得，集合A表示單位圓的下半部分，集合B表示斜率為2的直線(xiàn)，第14頁(yè)/共14頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

3如圖所示，考查臨界情況：當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)：，解得；聯(lián)立直線(xiàn)方程：可得：，令可得：，很明顯圖中相切時(shí)，據(jù)此可得的取值范圍是.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.二、多項(xiàng)選擇（每題五分，部分答對(duì)得2分，共20分）9.若圓的圓心到直線(xiàn)的距離為，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2B.C.D.0【答案】AD【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)后，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列式可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，所以圓心到直線(xiàn)的距離為，所以或.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式是解題關(guān)鍵.10.已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，若是直角三角形，則的面積可能為（）第14頁(yè)/共14頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

4A.5B.4C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性只需考慮或，當(dāng)時(shí)，求出的長(zhǎng)，再由面積公式即可求面積，當(dāng)時(shí)，結(jié)合，求出，再由面積公式即可求面積.【詳解】由可得，，所以，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性只需考慮或，當(dāng)時(shí)，將代入可得，如圖：，，所以的面積為，當(dāng)時(shí)，由橢圓的定義可知：，由勾股定理可得，因?yàn)椋?，解得：，此時(shí)的面積為，第14頁(yè)/共14頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

5綜上所述：的面積為或.故選：BC.11.已知橢圓=1與橢圓=1有相同的長(zhǎng)軸，橢圓=1的短軸長(zhǎng)與橢圓=1的短軸長(zhǎng)相等，則下列結(jié)論不正確的有（）A.a2=25，b2=16B.a2=9，b2=25C.a2=25，b2=9或a2=9，b2=25D.a2=25，b2=9【答案】ABC【解析】【分析】由橢圓與橢圓有相同的長(zhǎng)軸可確定橢圓的焦點(diǎn)位置且，然后再結(jié)合條件可得到，進(jìn)而可得答案．【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，橢圓的短軸長(zhǎng)為6，由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，即有，.故只有D對(duì)故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中基本量的判定，解題的關(guān)鍵是掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，特別是注意焦點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)方程中大的分母對(duì)應(yīng)的變量所在的軸上，屬于基礎(chǔ)題．12.已知圓和圓交于P，Q兩點(diǎn)，則（）A.兩圓有兩條公切線(xiàn)B.垂直平分線(xiàn)段C.直線(xiàn)的方程為D.線(xiàn)段的長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圓和圓的位置關(guān)系判斷A；數(shù)形結(jié)合可知垂直線(xiàn)段但不平分線(xiàn)段，圓和圓的方程相減判斷C；先求得圓心到直線(xiàn)的距離，再利用弦長(zhǎng)公式求解判斷D.【詳解】對(duì)于A：因圓和圓交于P，Q第14頁(yè)/共14頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

6兩點(diǎn)，所以?xún)蓤A有兩條公切線(xiàn)，故正確；對(duì)于B：數(shù)形結(jié)合可知垂直線(xiàn)段但不平分線(xiàn)段，故錯(cuò)誤；對(duì)于C：圓和圓的方程相減得：，所以直線(xiàn)的方程為，故正確；對(duì)于D:圓心到直線(xiàn)的距離為：，所以線(xiàn)段的長(zhǎng)為，故正確；故選：ACD.三、填空題（每題5分，共20分）13.橢圓的焦距長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓中，，所以，所以焦距為.故答案為2【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的焦距，熟記橢圓的性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.14.雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】先求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解.第14頁(yè)/共14頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

7【詳解】由已知，，所以雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，所以右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.故答案為：15.已知是圓外一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為則的最小值為_(kāi)___________.【答案】【解析】【分析】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此確定出圓的半徑，設(shè)，根據(jù)長(zhǎng)度表示出，然后根據(jù)向量的數(shù)量積計(jì)算公式求解，結(jié)合基本不等式求解出的最小值.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓的半徑為，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是將表示為有關(guān)的形式，通過(guò)統(tǒng)一變量利用基本不等式簡(jiǎn)化求最值的方法，其中的計(jì)算需要借助圓的半徑去完成.16.已知，，分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，若關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根，則橢圓的離心率的取值范圍是_______________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)判別式為負(fù)可求的關(guān)系，從而可求離心率的取值范圍.【詳解】由題有，即，第14頁(yè)/共14頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

8故，得或，而，∴.故答案為：四、解答題（17題10分，以后每題12分，共70分）17.已知直線(xiàn)，.（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)與之間的距離.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由直線(xiàn)方程的一般式中兩直線(xiàn)垂直的系數(shù)關(guān)系求解即可；（2）由直線(xiàn)方程的一般式中兩直線(xiàn)平行的系數(shù)關(guān)系與兩平行線(xiàn)的距離公式求解即可【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解?（2）因?yàn)?，所以，解得?.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與重合，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，即，所以所求距離.18.已知四邊形是平行四邊形，，，，且為線(xiàn)段的中點(diǎn).（1）求線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的一般方程；（2）直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求在軸上的截距．【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】（1）先由已知條件求出坐標(biāo)，再求，從而得到第14頁(yè)/共14頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

9的斜率，最后用點(diǎn)斜式求解并化簡(jiǎn)即可；（2）先求出的斜率，再用點(diǎn)斜式求出方程，并化為斜截式即可求解【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，解得即．設(shè)，則，，即．又因?yàn)?，所以的方程為，化?jiǎn)得．（2）由（1）知，，，所以．因?yàn)?，所以的斜率為，所以的方程為，整理得，所以在軸上的截距為6．19.（1）已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是，焦距為，求此雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）由焦距可求參數(shù)，討論雙曲線(xiàn)實(shí)軸的位置，結(jié)合漸近線(xiàn)方程求a、b，進(jìn)而寫(xiě)出雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由已知雙曲線(xiàn)方程確定其焦點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓焦點(diǎn)、頂點(diǎn)與雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)、頂點(diǎn)的關(guān)系求橢圓參數(shù)，進(jìn)而寫(xiě)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）由焦距為，知：，而雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是，若雙曲線(xiàn)方程為，即漸近線(xiàn)方程為，∴，又，得，；若雙曲線(xiàn)方程為，即漸近線(xiàn)方程為，第14頁(yè)/共14頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

10∴，又，得，；綜上，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.（2）雙曲線(xiàn)中，故其焦點(diǎn)、頂點(diǎn)分別為、，∴對(duì)于以其焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，其頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，方程可設(shè)為，∴，則，故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.20.已知雙曲線(xiàn)：的離心率為，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)．（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線(xiàn)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率為和頂點(diǎn)求出，即可得出雙曲線(xiàn)方程；（2）可先求出直線(xiàn)方程為，聯(lián)立橢圓方程，再利用弦長(zhǎng)公式即可求出.【詳解】（1）由題可得，解得，，所以雙曲線(xiàn)的方程為；（2）雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為所以經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)且傾斜角為30°的直線(xiàn)的方程為.聯(lián)立得．設(shè)，，則，．第14頁(yè)/共14頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

11所以.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)方程的求法，考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交弦長(zhǎng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.21.已知雙曲線(xiàn)是其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上.（1）若，求的面積；（2）若的面積是多少？若的面積又是多少？【答案】（1）9；（2）；.【解析】【分析】（1）設(shè)，（不妨設(shè)），，所以只需求即可.結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義和勾股定理求解；（2）利用余弦定理和雙曲線(xiàn)的定義求出即得解.【詳解】設(shè)，（不妨設(shè)），，因?yàn)橐阎灾恍枨蠹纯?（1）當(dāng)時(shí)，由雙曲線(xiàn)方程知，由雙曲線(xiàn)的定義，得，兩邊平方，得，又，即，即，求得.（2）若，則在中，，所以，求得.同理，可求得時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形和三角形的面積的計(jì)算，考查雙曲線(xiàn)的定義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.第14頁(yè)/共14頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

1222.已知雙曲線(xiàn)E：的離心率為2，點(diǎn)在E上.（1）求E的方程：（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交E于不同的兩點(diǎn)A，B（均異于點(diǎn)P），求直線(xiàn)PA，PB的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用，再代入，聯(lián)立即得解；（2）設(shè)l的方程為：，，，用坐標(biāo)表示斜率，將直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)聯(lián)立,化簡(jiǎn)代入韋達(dá)定理，即得解【詳解】（1）由已知可得，∴，解得①又∵點(diǎn)在E上，∴②由①②可得，.∴雙曲線(xiàn)E的方程為.（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l斜率顯然存在，設(shè)l的方程為：，，，將l的方程代入雙曲線(xiàn)E的方程并整理得，依題意，且，所以且，因此，可得，.∴第14頁(yè)/共14頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

13.第14頁(yè)/共14頁(yè)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司